¿Cuál es la formulación matemática detrás del principio de exclusión de Pauli?

Creo que puedo dar una explicación laica detrás de las matemáticas del principio de exclusión de Pauli.

Digamos que tenemos dos partículas. Las dos partículas son partículas fundamentales como los electrones. Las dos partículas son perfectamente idénticas. No tienen etiquetas para separarlos en categorías distintas. Son perfectamente idénticos Además, las dos partículas son libres sin ninguna interacción. En ese caso, sus funciones de onda deberían evolucionar independientemente.

Si tuviéramos que encontrar una partícula en algún estado A y la otra en algún estado B , la función de onda que describe las dos partículas que están en A y B se puede expresar como: [matemáticas] \ psi (A, B) [/ matemáticas] .

Pero las partículas son idénticas. No podemos estar seguros de si la partícula en A está realmente en B y la partícula en B está realmente en A. En resumen, si tuviéramos que cambiar las posiciones, ¡el resultado debería ser exactamente el mismo porque las partículas son perfectamente idénticas!

La probabilidad de encontrar la primera partícula en A y la otra en B es: [matemáticas] P (A, B) = | \ psi (A, B) | ^ 2 [/ matemáticas]. Esta probabilidad debería ser exactamente igual a la probabilidad de encontrar la primera partícula en B y la segunda en A , es decir, [matemáticas] P (A, B) = P (B, A) [/ matemáticas]. Podemos decir con seguridad que la nueva función de onda, aunque no sea igual a la función de onda original, debe tener su norma al cuadrado, P (B, A) igual a P (A, B) .

Ahora definamos un operador de intercambio, [math] Sw [/ math], cuyo trabajo es tomar una función de onda como la que discutimos anteriormente e intercambiarla para que las partículas cambien de posición. El operador opera en [matemática] \ psi (A, B) [/ matemática] y la deja como [matemática] C \ psi (B, A) [/ matemática] donde C es solo un número. Si usamos el operador de intercambio nuevamente en esto, obtenemos [math] C ^ 2 \ psi (A, B) [/ math]. Sin embargo, cambiar dos veces significa recuperar el original. Por lo tanto, [matemática] C ^ 2 \ psi (A, B) = \ psi (A, B) [/ matemática]. Por lo tanto, C puede tomar solo dos valores, +1 y -1 .

Ahora podemos ver que la función de onda con las posiciones intercambiadas es solo la función de onda original con un signo más o un signo menos. Y también sabemos que las probabilidades deben ser iguales. Una forma de crear la función de onda sería: [math] \ psi (A, B) = \ phi (A) \ chi (B) \ pm \ chi (A) \ phi (B) [/ math]. Esto serviría como una función de onda bastante válida que satisface todas nuestras restricciones generales. Suponga que la función está perfectamente normalizada.

Hay 2 clases de partículas, una que tiene el signo más en esa función de onda y otra que tiene un signo menos.

Para los signos más, si aplicamos el operador de intercambio, obtenemos,
, es decir, C = 1 . Estas partículas se llaman bosones. Para los signos menos, seguimos intercambiando,
es decir, C = -1 . Estas partículas se llaman fermiones.

Si tuviéramos que tener dos partículas en el mismo estado, es decir, ambas en A , para fermiones, nuestra función de onda se convierte en: [matemáticas] \ psi (A, A) = \ phi (A) \ chi (A) – \ phi (A) \ chi (A) = 0 [/ matemáticas]! ¡La probabilidad de encontrar dos fermiones en el mismo estado es cero! Eso es lo que se conoce como el Principio de Exclusión de Pauli.

Tenga en cuenta que para Bosons, no existe tal condición y, por lo tanto, no siguen el principio de exclusión de Pauli.

David Ding expresó amablemente el principio de exclusión y Quora User señaló correctamente que se desprende del teorema de la estadística de giro. Solo agregaré algunos comentarios generales.

El principio de exclusión fue una adición ad hoc a la teoría cuántica en la construcción inicial de la mecánica cuántica no relativista y relativista de sistemas de muchas partículas: no hay una razón obvia para que sea cierta. Inventarlo fue un acto de puro genio creativo de Pauli.

Puede demostrarse rigurosamente en la teoría axiomática relativista del campo cuántico que el principio de exclusión debe aplicarse en tales sistemas. Es un teorema que se deriva de los supuestos de estabilidad del estado de vacío, la localidad de los campos y la invariancia de Lorentz, así como ciertos otros supuestos técnicos.

Un análisis de la estructura de singularidad de los valores de expectativa de vacío de los productos de los campos, también llamados funciones de correlación, consideradas como funciones en el plano complejo: el grupo de Lorentz SO (3,1) se extiende a su grupo de cobertura universal SL (2, C) durante la versión más fácil de la prueba que he visto, conduce a la conocida conexión directa entre el espín y las estadísticas de partículas correspondientes a los campos: el principio de exclusión que propuso Pauli.

La prueba fue originalmente bastante sutil y difícil de seguir, pero hoy existen versiones mucho más simples.

EDITAR: solo para responder a su pregunta adicional en los detalles que agregó.

No, no estás siendo demasiado optimista. La teoría atómica puede describir los átomos de boro razonablemente bien. Un cálculo no relativista de Hartree-Fock que tiene en cuenta el principio de Pauli y que trata las interacciones electrón-electrón solo aproximadamente, de manera promedio, ya hace exactamente la declaración que desea: el último (quinto) electrón en Boro entra el orbital 2p, ya que tiene la energía más alta de una sola partícula, y los orbitales inferiores ya están llenos de dos electrones que tienen espines antiparalelos. Además, el estado fundamental del boro tiene números cuánticos consistentes con esta imagen.

Aquí hay una discusión agradable y simple del método Hartree-Fock, que habla específicamente sobre lo que sucede en Boron.

http://www.nyu.edu/classes/tucke …

La teoría atómica no funciona sin el principio de Pauli: no funciona en absoluto. Para átomos más grandes, se vuelve mucho más complicado, y es mucho más difícil obtener el orden de llenado completamente correcto en toda la tabla periódica. Pero para los átomos pequeños, Hartree-Fock no relativista con funciones de onda similares al hidrógeno funciona bastante bien.

Pero ese es realmente el comienzo de una pregunta diferente.

La afirmación matemática es que la función de onda para cualquier conjunto de fermiones es antisimétrica. Por ejemplo, dejemos
[matemáticas] \ psi (x_1, \ ldots, x_n) [/ matemáticas]
ser la función de onda de n fermiones, donde con coordenada espacial es la posición del i-ésimo fermión. Luego,
[matemáticas] \ psi (x_1, \ ldots, x_j, \ ldots, x_i, \ ldots, x_n) = [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ psi (x_1, \ ldots, x_i, \ ldots, x_j, \ ldots, x_n) [/ math]
para cualquier i, j. Como puede ver, esto significa que la función de onda es cero cuando los fermiones ocupan la misma posición espacial. Este es exactamente el Principio de Exclusión de Pauli.

Los fermiones (por ejemplo, electrones, protones, neutrones y neutrinos) tienen media integral
spin, y están representados por funciones de onda antisimétricas.

La función de onda antisimétrica para un sistema de N partículas idénticas puede expresarse como el determinante de Slater N X N :

Si dos partículas ocupan el mismo estado de una sola partícula, dos filas del determinante Slater para el sistema de partículas N serán iguales, haciendo que el valor del determinante sea cero.

Los principios de exclusión de Pauli se derivan de este resultado: en un sistema de N partículas idénticas, no hay dos fermiones que puedan ocupar simultáneamente el mismo estado de una sola partícula.

NB Los bosones (partícula alfa, pión) tienen un giro integral y están representados por funciones de onda simétrica.

El “principio de Pauli” es una consecuencia de los principios de la mecánica cuántica.

Sea [math] \ mathcal {H} (p_1, p_2) [/ math] ser el hamiltoniano que describe completamente los estados de dos partículas indistinguibles [math] p_1 [/ math] y [math] p_2 [/ math]. Por lo tanto, [math] \ mathcal {H} (p_1, p_2) = \ mathcal {H} (p_2, p_1) [/ math]. Deje [math] P_ {12} [/ math] el operador de permutación de estas dos partículas, luego [math] \ mathcal {H} [/ math] y [math] P_ {12} [/ math] conmutan: [math] \ left [\ mathcal {H}, P_ {12} \ right] = 0 [/ math]. Como consecuencia, existe una base que diagonaliza a ambos operadores; en particular, los estados propios de [math] \ mathcal {H} [/ math] son ​​estados propios de [math] P_ {12} [/ math], y recíprocamente.
Debido a que [matemática] P_ {12} ^ {2} = 1 [/ matemática], los valores propios de [matemática] P_ {12} [/ matemática] son ​​-1 y +1. Existen dos familias de estados: una para la cual las funciones de onda son simétricas bajo permutación ([matemáticas] \ Psi (x_1, x_2) = \ Psi (x_2, x_1) [/ matemáticas], las llamamos bosones), y la otra para cuyas funciones de onda son antisimétricas bajo permutación ([matemáticas] \ Psi (x_1, x_2) = – \ Psi (x_2, x_1) [/ matemáticas], las llamamos fermiones).
Supongamos que construimos una función de onda para fermiones usando los estados cuánticos de fermiones independientes, [math] \ varphi_a (x1) [/ math] para el primero y [math] \ varphi_b (x2) [/ math] para el segundo . Entonces, la función de onda que describirá correctamente la antisimetría por permutación será [matemáticas] \ Psi (x1, x2) = \ varphi_a (x1) \ varphi_b (x2) – \ varphi_b (x1) \ varphi_a (x2) [/ matemáticas]. Si ambas partículas están EN EL MISMO ESTADO, [math] \ varphi_a = \ varphi_b [/ math], y [math] \ Psi (x_1, x_2) [/ math] serán idénticamente iguales a CERO. Es el principio de exclusión de Pauli. Tenga en cuenta también que dos fermiones no pueden ocupar la misma posición en el espacio, sea cual sea su estado; puedes ver eso tomando [math] x_1 = x_2 [/ math].

¿Estás preparado para una respuesta no estándar? La primera pregunta que debe hacerse es: ¿POR QUÉ los electrones en los estados estacionarios de los átomos no se aceleran y, por lo tanto, emiten radiación electromagnética como lo requieren las ecuaciones de Maxwell? Mi respuesta a eso condujo a mi concepto de ondas de guía algo similar a la onda piloto. Comienzo con el argumento de que
ψ = Aexp (2πiS / h), donde S es la acción asociada con el movimiento yh es el cuanto de acción de Planck. Ahora, de Euler, exp (2πi) = 1, en cuyo caso una vez al período ψ = A, y es real, no complejo. El argumento ahora es, cuando eso sucede, si sucede exactamente en el mismo lugar, entonces no ha habido aceleración en el espacio real. Además, supongo que para que la onda afecte a la partícula, su velocidad de fase debe ser igual a la velocidad de partícula esperada. (Tenga en cuenta que la onda de Schrodinger es totalmente causal y determinista; es la partícula la que no lo es). Las matemáticas razonablemente simples muestran que la onda debe transmitir energía (como cualquier otra onda) y, por lo tanto, cuando la onda se vuelve real en el mismo lugar con el mismo energía, la onda debe ser estacionaria.

El siguiente punto es que el movimiento tiene dos grados de libertad y, por lo tanto, dos componentes de onda correspondientes a los dos componentes de acción asociados con el movimiento. De la ecuación de Schrodinger, cada componente tiene medio cuántico, por lo tanto, la acción asociada con el momento angular es (+1/2) h, lo que a su vez significa que un período es de dos ciclos. Para el átomo de hidrógeno, lo que esto significa es que, dado que no hay nodos en la función de onda, se necesitan dos ciclos, uno para proporcionar la cresta de la onda, otro para proporcionar el canal de la onda.

El Principio de Exclusión ahora se desprende de la física de ondas estándar. Sigue una onda estacionaria si tenemos dos ondas iguales y opuestas, con la mitad de la longitud de onda de las ondas continuas. Esto permite que la realización de la onda ocurra el doble de frecuencia, pero aún en el mismo lugar. No hay otra forma de darse cuenta de esto con fermiones. Tenga en cuenta que esto no tiene nada que ver con spin en absoluto. Si hay interacciones magnéticas, la acción correspondiente generará sus propios componentes de onda, con tiempos periódicos algo diferentes.

Supongo que a nadie le gustará esta respuesta, PERO la pregunta es, ¿pueden falsificarla? De lo contrario, en mi opinión, sigue siendo una posibilidad válida. Como comentario aparte, he puesto esto en un libro electrónico en Amazon llamado “Olas de guía”, y esto obviamente también deriva el Principio de incertidumbre, pero también va más lejos en lo que respecta a los átomos.

Hola Malcolm, la exclusión de Pauli es un tema en el que estoy muy interesado, déjame decirte mi opinión personal, aunque no es corriente. Creo que el principio de Exclusión está relacionado con geometrías reflejadas en espejo y espacios no conmutativos. Piense en dos campos intersectados que varían periódicamente, expandiéndose y contrayéndose, con la misma fase u opuesta.

A continuación, en la imagen M1, puede ver el campo “e-“, formado por la intersección del campo contraído A (en el lado izquierdo) y el campo expandido B (en el lado derecho). Ese campo “e-” se coloca en el lado izquierdo del eje central de simetría. Un momento después, en la imagen M2, el campo izquierdo A se expande y el derecho B se contrae. Estas variaciones producen un desplazamiento del campo zurdo “e-” moviéndose hacia el lado derecho. Ahora, el campo “e-” se convierte en su propio campo antisimétrico “e +”. Entonces, “e-” y “e +” son dos campos idénticos pero antisimétricos regidos por el principio de exclusión de Pauli. No pueden existir al mismo tiempo.

Ocurre lo mismo, aunque de manera diferente, con los campos “N-” y “P +”, y con los campos “v +” y “v-“. N- y P + (o v + y -) son campos idénticos con simetrías espejo que existen en diferentes momentos regidos por el principio de exclusión de Pauli.

En los casos anteriores, los campos intersectados A y B variaron con fases opuestas, pero ahora considere dos campos intersectados que varían con la misma fase:

Como puede ver en la imagen de arriba, aquí no hay desplazamiento hacia los lados izquierdo y derecho de la simetría central, pero hay un desplazamiento periódico hacia arriba y hacia abajo. Aquí, el principio de exclusión de Pauly rige sobre los campos P + y N-, y su ámbito de influencia es el eje vertical.

En la imagen M1 puede ver el campo izquierdo “ve-” y el derecho “ve +” que existe al mismo tiempo con exactamente la misma simetría espejo (opuesta). No se rigen por el principio de exclusión de Pauly;
Más tarde, en el momento en que M2, ve- y ve + han cambiado su forma pero manteniendo su simetría, tampoco están regidos por el principio de Exclusión.

Puede ver a continuación una animación de esas imágenes:

En mi opinión, el Principio de exclusión de Pauli describe las simetrías rotas que nunca ocurren espontáneamente.

Lo que propongo es que los núcleos atómicos están formados por la intersección de dos campos (creo que gravitacionales) que varían periódicamente. Pero creo que este modelo debería ser aplicable a cualquier sistema solar, aunque a nivel astrofísico sería necesario cuestionar radicalmente toda la astrofísica actualmente aceptada. En este modelo, nuestra Tierra no orbitaría alrededor del sol sino alrededor de uno de los campos formados en la intersección de los campos gravitacionales de dos estrellas especulares, que serían parte de un sistema estelar más grande y enredado.

Este modelo explicaría la variación periódica, expansión y contracción de un universo formado por la intersección de al menos dos universos más grandes. Cuando ambos se contraen al mismo tiempo, el campo ascendente crea una gran explosión, seguido de un gran silencio cuando ambos se expanden.

Saludos cordiales.

Alfonso