¿Cuál es la altura donde la gravedad es la mitad?

La aceleración gravitacional se puede definir como:


Entonces, para reducir a la mitad el lado izquierdo de la ecuación, tenemos que reducir a la mitad el lado derecho. G y M son constantes (la constante gravitacional y la masa de la Tierra). Eso significa que lo único que podemos cambiar es el fondo de la fracción. Para reducir a la mitad la izquierda, tenemos que doblar la parte inferior de la derecha.

¿Qué número al cuadrado es 2? Esa sería la raíz cuadrada de 2.

Multiplique la raíz cuadrada de 2 (~ 1.414) por la r original y tendremos nuestra respuesta.

Aquí es donde generalmente se comete el error más común. Nuestra “r” inicial no es cero. La gravedad se basa en el centro de una masa. Dado que el radio de la Tierra es de 6378 km, esa es nuestra “r” inicial, si estamos parados en el suelo.

6378 km * 1.414 = 9020 km.

9020 – 6378 = 2642 km .

Esa es nuestra respuesta. A una altitud de 2642 km (aprox. 1641 millas) sobre la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional será de 4,89 m / s ^ 2, que es la mitad de 9,78 m / s ^ 2 (la gravedad en la superficie).

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Supongo que quiere decir que, en la Tierra, a qué altura tendría que estar un objeto para sentir [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas] g de aceleración.

De acuerdo con esta fórmula:

[matemáticas]
g_h = g_o * (\ frac {r} {r + h}) ^ 2
[/matemáticas]

Todo lo que tenemos que hacer es resolver h, y establecer [math] g_h [/ math] en [math] g_o / 2 [/ math]. Esto realmente produce una fórmula genérica, pero la resolví para la Tierra, donde los números son los siguientes (ish):

[matemáticas] g_h = 9.81 / 2 [/ matemáticas] m / s ^ 2
[matemáticas] g_o = 9.81 [/ matemáticas] m / s ^ 2
[matemáticas] r = 6.371 * 10 ^ 6 [/ matemáticas] m

Por lo tanto, encontramos que h es aproximadamente [matemática] 2.64 * 10 ^ 6 [/ matemática] m, también conocida como alrededor de [matemática] 2600 [/ matemática] km alrededor de la superficie de la Tierra.

Editar:
Aquí está la fórmula:
[matemáticas] h = r {\ left (\ sqrt {2} – 1 \ right)} [/ math]

Editar editar:
Si desea formular fórmulas para cualquier relación arbitraria (como [matemática] 1/3 [/ matemática] g), simplemente coloque el inverso de la relación en la raíz cuadrada.

Wagner Lipnharski

Lo sabemos

g = [matemáticas] GM ÷ R ^ 2 [/ matemáticas]

Lo que tenemos que encontrar es cuál es la altura donde g se reduce a la mitad

deja que g / 2 sea g ‘

g ‘= [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] GM ÷ R ^ 2 [/ matemáticas]

g ‘puede escribirse como

[matemáticas] GM (R + h) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemática] GM (R + h) ^ 2 [/ matemática] = [matemática] 2GM ÷ R ^ 2 [/ matemática]

Se puede simplificar como

[matemáticas] (R + h) ^ 2 = 2 ÷ R ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] R ^ 2 ÷ (R + h) ^ 2 = 2 [/ matemática]

[matemáticas] (R ÷ R + h) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] R ÷ R + h = √2 [/ matemáticas]

R + h = R√2

h = R√2 – R

h = R (√2–1)

h ~ 2650 km

Robert Frost

Hay una altura donde su velocidad de escape es la mitad.
Es decir, solo necesita la mitad de la energía para huir de la gravedad de la Tierra.
La gravedad en sí no es la mitad en ese punto.

[matemáticas] v {e} = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} [/ matemáticas]

G (gravedad) es una constante.
r (distancia / altura) es una variable.

Velocidad de escape

Robert Frost

Wagner Lipnharski

Aproximadamente 10 veces la altitud de la Estación Espacial Internacional, alrededor de 1600 millas de altura.

Kanishk P

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