Comencemos restableciendo los hechos sobre las frecuencias de las notas musicales en progresión geométrica.
La siguiente ecuación da la frecuencia f de la enésima tecla de un piano: 
donde n denota el número clave de un piano estándar (n = 1-88)
. 
La ecuación le habría dado cierta claridad sobre por qué la frecuencia de las notas musicales está en progresión geométrica.
Si no lo entendiste de inmediato, la progresión geométrica que ha estado al acecho en la ecuación. Aquí hay un enfoque paso a paso:
Al escribir la ecuación anterior en forma más simple, obtenemos:
[matemáticas] f (n) = k * {(2)} ^ {n / 12} [/ matemáticas]
y finalmente:
[matemática] f (n) = c * {(2)} ^ {n} [/ matemática] (obtenida eliminando todas las constantes en la ecuación)
donde c = constante.
Y voilá ! La progresión geométrica.
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El siguiente gráfico realizado en Mathematica, muestra un gráfico polar de las frecuencias para la octava desde el medio C 3 (261.63) a C4 (523.25). Cada punto tiene como distancia desde el origen (o radio) el tono o la frecuencia, y el ángulo desde la posición inicial es (360/13) * n, comenzando con n = 0, en sentido antihorario.
Y esta es la trama polar de una progresión geométrica:
Esto restablece aún más el hecho de que las frecuencias están realmente en progresión geométrica.
Antes de continuar, hagamos una pregunta fundamental sobre la música: ¿por qué solo hay 12 notas en una octava, y por qué no 14, 20 u 8? La respuesta a esta pregunta fundamental subyace a la respuesta a su pregunta sobre la física del sonido. Porque saber por qué solo se eligieron ciertas frecuencias para formar parte de la octava es fundamental para comprender los orígenes de la progresión geométrica, que se ha ocultado en las notas musicales …
Aquí por qué solo hay 12 notas en una octava:
Esto requiere una excursión a la historia musical.
Originalmente, los instrumentos fueron hechos para simplemente tocar notas que sonaban “bien” juntas. Por qué algunas notas sonaban bien y otras mal no era una gran preocupación para la mayor parte de la historia de la humanidad, hasta que Pitágoras (sí, el tipo con el teorema) notó que tenía que ver con intervalos e hizo una teoría musical basada en quintas perfectas . Sin embargo, esta teoría tuvo sus problemas y fue mejorada por personas posteriores, y finalmente terminó en lo que se llama una “entonación justa”.
Básicamente, las notas suenan armoniosas si la frecuencia de las notas está cerca de un intervalo simple, como 3/2 o 5/4. Estas teorías eran importantes porque significaba que era posible que diferentes fabricantes de instrumentos hicieran instrumentos que pudieran tocar escalas juntos, creando orquestas.
Pero solo la afinación tiene un problema: básicamente solo puede tocar la escala para la que está construido el instrumento, porque los intervalos entre las notas son diferentes. Si toca una melodía en la escala incorrecta, sonará desafinada. Esto significa que si desea cantar junto con el instrumento, debe encontrar un cantante cuyo rango se ajuste a la canción en la escala para la que está diseñado el instrumento. No puedes transponer la canción para que se ajuste al cantante. Además, los músicos estaban explorando los límites de lo que podría hacer con instrumentos entonados.
Entonces, de esto salió el temperamento igual. Divide la escala en intervalos iguales, lo que significa que puede transponer una melodía a otras teclas, y también significa que puede hacer cambios dramáticos de acordes y otras cosas interesantes. De hecho, puede dividir la octava en 11 o 13 notas si lo desea, pero para la mayoría de las personas sonará desafinada. Pero cuando lo divides en 12 notas, te acercas lo suficiente a las siete notas de entonación como para que sea soportable, excepto para algunos desafortunados que supuestamente están cargados de un tono hiperactivo perfecto. Los cinco tonos que se encuentran entre los siete básicos son, como se esperaba, llamados “medios tonos”.
Hay temperamentos iguales aparte de los 12 tonos por octava que sonarán bien, pero generalmente no tienen un número integral de notas por octava. Wendy Carlos experimentó mucho con esto, e hizo escalas como la escala Gamma con un poco alucinante 34,29 notas por octava.(¿Por qué hay doce notas en una octava?)
La progresión geométrica obtenida no tiene nada que ver con la física del sonido per se, sino más con la armonía del sonido. Y por qué los humanos solo encontramos que ciertas frecuencias están “sintonizadas”, mientras que el resto está “fuera de tono”.
( Otras lecturas:
Secuencias geométricas y las frecuencias de las 88 teclas en un piano
Temperamento igual
¿Por qué hay doce notas en una octava? )
