La mecánica newtoniana fue la mecánica original. En 1686, Newton escribió tres leyes del movimiento:
1) Los objetos en movimiento tienden a permanecer en el mismo movimiento, a menos que una “fuerza” actúe sobre ellos.
2) La aceleración de un objeto, que es la tasa de cambio de su velocidad, es generalmente (milagrosamente) proporcional a una función de solo su posición. Esta función se llama “fuerza” y la constante de proporcionalidad se llama “masa”.
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3) Si algún objeto A causa una fuerza sobre cualquier otro objeto B, entonces el objeto B causa la misma fuerza sobre el objeto A, pero en la dirección opuesta.
La más importante de estas leyes, en términos de construcción de modelos matemáticos, es la segunda ley, en base a la cual podemos escribir la ecuación diferencial de segundo orden,
[matemáticas] m \ mathbf {a} = m \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) [/ math]
donde los puntos indican derivadas del tiempo, [math] m [/ math] es la masa, [math] \ mathbf {a} [/ math] es el vector de aceleración y [math] \ mathbf {F} [/ math] es la fuerza vector. (Son vectores porque cada fuerza tiene una dirección y una magnitud. Por ejemplo, la fuerza gravitacional en la Tierra debido al Sol es muy grande, y apunta desde la Tierra hacia el Sol, es decir, está siendo empujada hacia el sol). Al resolver esta ecuación para [math] \ mathbf {x} (t) [/ math], puede conocer la posición del objeto y su movimiento para siempre.
Esta pequeña ecuación fue revolucionaria porque describía una gama tan amplia de fenómenos aparentemente dispares, desde las órbitas de los planetas hasta el balanceo de un péndulo de reloj y la caída de una manzana. Pero por sorprendente que fuera, esta ecuación a menudo era difícil de resolver, especialmente en sistemas más complicados o sistemas con una gran cantidad de objetos que interactúan.
Para solucionar este problema, los físicos desarrollaron la mecánica lagrangiana . Mientras que la mecánica newtoniana se basa en coordenadas cartesianas, la mecánica lagrangiana es independiente de cualquier sistema de coordenadas particular (aunque las dos formulaciones son matemáticamente idénticas). Esto permite una flexibilidad mucho mayor al hacer cálculos. El punto de partida es la definición de la función lagrangiana [matemáticas] L (q_i, \ dot {q} _i; t) [/ matemáticas] y la acción,
[matemáticas] S [\ {q_i (t) \}] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ L (q_i, \ dot {q} _i; t) [/ matemáticas]
donde las [matemáticas] q_i [/ matemáticas] [matemáticas] (i = 1, 2, 3,…, [/ matemáticas] # de grados de libertad) son las coordenadas generalizadas del sistema y [matemáticas] \ dot {q} _i [/ math] son las velocidades generalizadas correspondientes. Las coordenadas generalizadas pueden ser cualquier conjunto de coordenadas que desee, siempre que especifiquen completamente el estado del sistema. Pueden ser distancias, ángulos o cualquier otra cosa que cuantifique el estado. Pero la razón por la que los físicos teóricos se volvieron locos con la formulación lagrangiana es el elegante principio físico en el que se basa la dinámica (principio de Hamilton):
La ruta física que toma un sistema desde el tiempo [matemática] t_1 [/ matemática] hasta el tiempo [matemática] t_2 [/ matemática] es aquella para la cual la acción ( [matemática] S [/ matemática] ) es estacionaria.
Es decir, la naturaleza parece “elegir” el camino que es un punto mínimo, máximo o de silla de montar de la acción (generalmente es el mínimo). Resulta que al extremar la acción de esta manera se obtienen las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange,
[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} _i} = \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} [/ math]
que en realidad es solo una forma generalizada de la segunda ley de Newton (el lado izquierdo es la masa multiplicada por la aceleración y el lado derecho es la fuerza generalizada). Pero, nuevamente, la fortaleza aquí es que puedes elegir las coordenadas [matemáticas] q_i [/ matemáticas] que hacen que esta ecuación sea más fácil de resolver. Por ejemplo, en sistemas con fuerzas centrales (como la gravedad), es ventajoso usar coordenadas esféricas, de modo que separe la dinámica en sus partes angular y radial. Luego puede describir por separado el movimiento radial y angular del objeto, resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes.
Con esta poderosa formulación de mecánica, los físicos pudieron resolver clases más amplias de problemas con mayor facilidad. Además, facilitó la identificación de cantidades conservadas en sistemas dinámicos. Si se conserva una cantidad, su valor no cambia con el tiempo y no es necesario que la controle. Por lo tanto, encontrar las cantidades conservadas de un sistema simplifica el análisis.
Reconociendo la importancia de las cantidades conservadas, la mecánica hamiltoniana se deriva de la formulación lagrangiana. En la mecánica hamiltoniana, las cantidades conservadas se hacen más evidentes. La función hamiltoniana [matemática] H [/ matemática] se calcula a partir del lagrangiano a través de un cambio de variables llamado transformación de Legendre,
[matemáticas] H (q_i, p_i; t) = \ sum_ {i} \ dot {q} _i p_i – L (q_i, \ dot {q} _i; t) [/ matemáticas]
donde el momento correspondiente a la coordenada [matemáticas] q_i [/ matemáticas] se define como
[matemática] p_i \ equiv \ frac {\ parcial L} {\ parcial \ punto {q} _i} [/ matemática]
Esencialmente, reemplazamos las coordenadas de velocidad con coordenadas de momento, de modo que el estado físico del sistema en cualquier momento se describe mediante el conjunto de coordenadas [matemática] \ {q_i, p_i \} [/ matemática]. Al poner estas dos ecuaciones junto con la ecuación de Euler-Lagrange anterior, obtenemos las ecuaciones de movimiento de Hamilton,
[matemáticas] \ dot {q} _i = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} [/ math] y [math] \ dot {p} _i = – \ frac {\ partial H} {\ partial q_i} [/matemáticas]
He aquí que el Hamitonian es una cantidad conservada,
[matemáticas] \ frac {dH} {dt} = \ sum_ {i} \ frac {\ partial H} {\ partial q_i} \ frac {\ partial q_i} {\ partial t} + \ frac {\ partial H} { \ partial p_i} \ frac {\ partial p_i} {\ partial t} [/ math]
[math] = \ sum_ {i} \ frac {\ partial H} {\ partial q_i} \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} – \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} \ frac {\ parcial H} {\ parcial q_i} = 0 [/ matemáticas]
Además, si el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada [math] q_i [/ math], entonces
[matemáticas] \ frac {dp_i} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial q_i} = 0 [/ matemáticas]
lo que significa que el impulso correspondiente también es una cantidad conservada! Lo sacamos de la caja, con poco conocimiento sobre el sistema en particular. De hecho, la dependencia del tiempo de cualquier variable dinámica [matemática] A = A (q_i, p_i) [/ matemática] viene dada por
[matemáticas] \ frac {dA} {dt} = \ sum_ {i} \ frac {\ parcial A} {\ parcial q_i} \ frac {\ parcial q_i} {\ parcial t} + \ frac {\ parcial A} { \ partial p_i} \ frac {\ partial p_i} {\ partial t} [/ math]
[math] = \ sum_ {i} \ frac {\ partial A} {\ partial q_i} \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} – \ frac {\ partial A} {\ partial p_i} \ frac {\ parcial H} {\ parcial q_i} [/ math]
o más compacto,
[matemáticas] \ frac {dA} {dt} = \ {A, H \} [/ matemáticas]
donde la cosa de la derecha se llama el soporte de Poisson . Si el grupo de Poisson de una cantidad con el Hamiltoniano es cero, entonces es invariable con el tiempo.
Las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana describen los mismos procesos físicos. Ambos son equivalentes a la mecánica newtoniana, pero tienen diferentes ventajas dependiendo de lo que quieras calcular. Si desea una descripción conceptual simple e intuitiva de las cosas, utilice la mecánica newtoniana. Si tiene un sistema potencialmente complicado y desea simplificar y estandarizar el cálculo tanto como sea posible, comience con la mecánica lagrangiana. Si quieres ver simetrías y cantidades conservadas, ve con la mecánica hamiltoniana. Pero si adoptas cualquiera de estos tres enfoques, estás haciendo mecánica clásica.
La mecánica cuántica es una teoría completamente diferente de la mecánica. Primero se formuló como una extensión de la mecánica hamiltoniana (cuando este último falló a pequeña escala), y luego Feynman proporcionó una interpretación alternativa en términos de mecánica lagrangiana.
La versión hamiltoniana de la mecánica cuántica comienza con la afirmación de que las variables dinámicas, como la posición y el momento, no son números, sino operadores . Un operador es simplemente un objeto que actúa sobre otro objeto. Cuando hacemos una medición de alguna variable observable, en realidad obtenemos ciertos valores, llamados valores propios , asociados con el operador correspondiente. En muchos casos, estos valores propios son discretos o cuantificados (de ahí el nombre “cuántico”). Además, los valores (propios) que obtenemos de las mediciones son aleatorios . Simplemente no hay forma de saber cuál será el resultado de una medición futura. Solo podemos calcular probabilidades. Entonces, en lugar de identificar el estado de un sistema con los observables aleatorios (posición, momento, etc.), lo identificamos con la distribución de probabilidad de los valores observados (eigen), o más bien su proxy: la amplitud de probabilidad o la función de onda [matemática ] \ Psi [/ matemáticas]. La densidad de probabilidad es el cuadrado de magnitud de la función de onda. Por ejemplo, si la función de onda se define en el espacio de posición [matemática] \ Psi = \ Psi (x) [/ matemática], entonces la densidad de probabilidad es [matemática] | \ Psi (x) | ^ 2 [/ matemática] ( la probabilidad de medir una posición en un vecindario pequeño [matemática] dx [/ matemática] sobre el punto [matemática] x [/ matemática] es [matemática] | \ Psi (x) | ^ 2 dx [/ matemática]).
De una manera análoga a la definición del soporte de Poisson anterior, la dependencia del tiempo de la función de onda viene dada por la ecuación de Schrödinger,
[matemáticas] \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} = \ frac {1} {i \ hbar} \ hat {H} \ Psi [/ math]
donde [math] \ hbar [/ math] es la constante de Planck y aquí el hamiltoniano es ahora el operador [math] \ hat {H} [/ math], que actúa sobre la función de onda. Para obtener este operador, simplemente escriba la función clásica hamiltoniana y reemplace las coordenadas y momentos con los operadores correspondientes, que deben obedecer la restricción,
[matemáticas] \ hat {q} _i \ hat {p} _i – \ hat {p} _i \ hat {q} _i = i \ hbar [/ math]
conocida como la relación de conmutación canónica . Generalmente, dos operadores no viajan (lo que significa que el orden en que los aplica es importante. Piense en rotaciones, por ejemplo. Una rotación sobre el eje z seguida de una rotación sobre el eje y es diferente de la operación inversa) . Esta relación nos dice que los operadores de posición y momento no pueden conmutar en una cantidad muy pequeña: la constante de Planck ([matemática] \ aproximadamente 6.626 \ veces 10 ^ {- 34} [/ matemática] m [matemática] ^ 2 [/ matemática ] kg / s). Una consecuencia de esto es que no puede obtener mediciones precisas arbitrariamente de la posición y el momento simultáneamente. Esta declaración a menudo se resume como el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg,
[matemáticas] \ Delta q \ Delta p \ geq \ frac {\ hbar} {2} [/ matemáticas]
donde [matemática] \ Delta q [/ matemática] es la incertidumbre en alguna coordenada [matemática] q [/ matemática] y [matemática] \ Delta p [/ matemática] es la incertidumbre en el momento correspondiente.
Mientras que, en la mecánica newtoniana, lagrangiana y hamiltoniana, usted resuelve las coordenadas como funciones de tiempo para los objetos en estudio, aquí resuelve la función de onda, que es una función de todas estas coordenadas y una función del tiempo. Esto agrega una capa adicional de complejidad, lo que hace que los problemas de mecánica cuántica en general sean más difíciles de resolver que sus análogos clásicos.
La formulación integral de la mecánica cuántica de Feyman es matemáticamente equivalente a esta versión de la mecánica cuántica, pero en lugar de escribir la ecuación de Schrödinger y tratar de resolverla, simplemente escribe la solución en la forma,
[matemáticas] \ Psi = \ sum _ {\ {q_i (t) \}} \ exp \ left [- \ frac {i} {\ hbar} S [q_i (t)] \ right] [/ matemáticas]
donde la suma se toma sobre todos los caminos posibles [matemática] \ {q_i (t) \} [/ matemática], y [matemática] S [\ {q_i (t) \}] [/ matemática] es la acción clásica de Lagrangian Mecánica anterior, que es una función de la ruta [matemática] \ {q_i (t) \} [/ matemática] que toma el sistema. Lo que esto dice es que la función de onda es realmente la suma de todos los caminos posibles [matemática] \ {q_i (t) \} [/ matemática] de esta función exponencial de la acción. Esta es una idea conceptualmente hermosa: una partícula o sistema puede tomar cualquier ruta posible a través del espacio y simplemente se suman las amplitudes de probabilidad de cada ruta para obtener la función de onda total. Pero cuando intenta hacer este cálculo, se encuentra con un gran problema: ¿cómo define una suma sobre las rutas? ¿Cómo cuentas todos los caminos? Este problema complica las cosas rápidamente, e incluso para sistemas simples la suma se vuelve bastante desordenada. Por esta razón, la formulación anterior basada en la ampliación de la mecánica hamiltoniana suele ser más sencilla.
