No necesariamente. En la relatividad general y en presencia de materia, lo que seguramente es curvo y no euclidiano es el espacio – tiempo , es decir, la única entidad tetradimensional en la que se fusionan el espacio y el tiempo. Esto es una consecuencia de las Ecuaciones de campo de Einstein (EFE). Las soluciones a estas ecuaciones son las posibles geometrías curvas del espacio-tiempo (en presencia de una configuración de materia particular que ponemos en las ecuaciones; en general, las diferentes configuraciones dan geometrías diferentes; las soluciones de vacío también pueden tener curvatura).
Supongamos que ahora resolvemos las ecuaciones para un caso particular y obtenemos una solución exacta, por ejemplo, la solución cosmológica Robertson-Walker (métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).
Si calculamos la curvatura espacio-temporal de esta solución, obtenemos que en realidad es curva. Pero ¿qué pasa con el espacio, el espacio es curvo?
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Para responder a esto, primero necesitamos definir qué es “espacio” en este contexto, y esto es bastante trivial. Según la Relatividad general, lo único real e invariable, con un significado objetivo preciso es el espacio-tiempo completo. Ahora, diferentes observadores con diferentes trayectorias espacio-temporales (líneas mundiales) miden diferentes flujos de tiempo. Su noción de espacio también difiere. Diferentes observadores ven diferentes hiperesuperficies de simultaneidad, que identificamos como “espacio” según el observador particular. Este proceso se llama “segmentación” o “ruptura” del espacio-tiempo en “espacio” y “tiempo”. Diferentes conjuntos de observadores hacen diferentes cortes de espacio-tiempo:
(imágenes tomadas de internet, no mías)
Entonces, el corte no es una propiedad intrínseca del espacio-tiempo, necesitamos especificar qué observador lo está haciendo (por cierto, por “observador” no quiero decir que algún ser humano real tenga que estar allí haciendo mediciones, puedes pensar de ello simplemente como un sistema de coordenadas abstracto, o incluso como una forma abstracta posible de dividir el espacio-tiempo). Verifique el comentario (*) al final para algunos comentarios secundarios sobre esto.
De hecho, tenemos algunas ecuaciones generales para todo esto. Si [math] g_ {ab} [/ math] es la métrica del espacio-tiempo, [math] R_ {fgkj} [/ math] su curvatura intrínseca (es decir, si R = 0, entonces el espacio-tiempo es plano; se llama tensor de Riemann), [matemática] h_ {a} ^ {f} [/ matemática] la métrica riemanniana inducida en la hiperesuperficie de tipo espacial y [matemática] R_ {abc} ^ {(3) \; d} [/ math] su curvatura intrínseca (es decir, si R (3) = 0, entonces el espacio es plano), entonces las relaciones Gauss-Codacci tienen:
[matemáticas] R_ {abc} ^ {(3) \; d} = h_ {a} ^ {f} h_ {b} ^ {g} h_ {c} ^ {k} h_ {j} ^ {d} R_ {fgk} ^ {\; \; j} -K_ {ac} K_ {b} ^ {d} + K_ {bc} K_ {a} ^ {d} [/ matemáticas]
donde [matemática] K_ {bc} \ doteq \ frac {1} {2} \ matemática {L} _ {n} h_ {bc}
[/ math] se llama curvatura extrínseca ([math] n_ {a} [/ math] es el campo vectorial normal para las hiperesuperficies y [math] \ mathcal {L}
[/ math] la derivada de la Mentira). Definimos que el espacio es curvo cuando su curvatura intrínseca es distinta de cero .
Entonces, uno puede ver fácilmente que incluso si el espacio-tiempo es plano (R = o), podemos obtener un espacio curvo (R (3) no es cero) eligiendo una hiperesuperficie con la curvatura extrínseca adecuada. Por otro lado, si el espacio no es curvo (R (3) = 0), esto no implica necesariamente que el espacio-tiempo no sea curvo (R aún puede ser distinto de cero). Un ejemplo de este último caso es el siguiente.
Volvamos al espacio en la solución cosmológica Robertson-Walker. En estas soluciones, hay un conjunto de observadores preferidos llamados “observadores isotrópicos”. El espacio físico según ellos es homogéneo e isotrópico (de acuerdo con el principio cosmológico copernicano). Por ejemplo, las galaxias generalmente describen líneas del mundo isotrópicas. Según la época de estos observadores, hablamos de la edad del universo. El espacio definido por estos observadores es lo que generalmente llamamos el “universo”.
Entonces, ¿cuál es la geometría de este espacio? Las soluciones cosmológicas de Robertson-Walker son en realidad una familia de soluciones parametrizadas por el valor del parámetro k. La relatividad general predice que las únicas posibilidades son las siguientes: k = + 1, que corresponde al espacio como una esfera de 3; k = 0, que corresponde al espacio plano, es decir, Euclidiana 3-d ordinaria; k = -1, que corresponde al espacio siendo un hiperboloide. Los casos k = -1 o +1 son ejemplos típicos de no euclidianos.
De esta manera, puede ver claramente que incluso cuando el espacio-tiempo es curvo en todos estos casos, el espacio solo puede o no ser curvo.
Los datos experimentales de hoy sugieren que el espacio físico a escala cosmológica es muy, muy cercano al plano, el caso k = 0.
Como nota final, consideremos el caso plano, k = 0. Como dije, la curvatura del espacio-tiempo no es cero para la solución Robertson-Walker. Pero la curvatura del espacio es cero en este caso. De las relaciones de Gauss-Codacci anteriores, la curvatura extrínseca tiene que cancelar la contribución de la parte de curvatura espacio-temporal. Pero, ¿qué es esta curvatura extrínseca en este caso? Hagamos el calculo. En el sistema de coordenadas de los observadores isotrópicos (es simplemente un sistema gaussiano), la métrica del espacio-tiempo es:
[matemática] \ mathrm {d} s ^ {2} = – \ mathrm {d} t ^ {2} + a (t) ^ {2} [\ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d } y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}] [/ math]
donde a es el factor de escala. Por lo tanto, los elementos de la matriz de la métrica inducida son:
[matemáticas] h_ {ij} (t) = a (t) ^ {2} \ delta_ {ij} [/ matemáticas]
Como las coordenadas son gaussianas, los elementos de la matriz de la curvatura extrínseca se calculan como:
[matemáticas] K_ {ij} = \ frac {1} {2} \ frac {\ partial h_ {ij}} {\ partial t} = a \ dot {a} \ delta_ {ij} [/ math]
De los EFE, sabemos que [math] \ dot {a} \ neq0 [/ math], es decir, el espacio se está expandiendo o contrayendo necesariamente. Entonces, esta expansión o contracción es la curvatura extrínseca.
(*) Un hecho secundario importante: en apariencia, este hecho de aspecto inocente siempre introduce una restricción (una ecuación de restricción adicional que resulta de este arbitraje de indicadores sobre cómo dividir el espacio-tiempo) en una formulación hamiltoniana de la dinámica de la Relatividad General, lo cual es inevitable porque uno tiene que cortar el espacio-tiempo para hacer tal formulación. En algunas teorías, la restricción es lineal y se puede resolver y eliminar. Pero en la relatividad general, es cuadrática y parece que no se puede resolver. En este sentido, en un esquema en el que la relatividad general se cuantifica canónicamente, esta restricción debe imponerse en términos de operadores cuánticos y resolverse. Este es uno de los principales obstáculos técnicos sobre por qué todavía no tenemos una cuantización canónica de la gravedad (se produjeron algunos avances en LQG).
