Es una pregunta fascinante, una que me hizo preguntarme durante bastante tiempo antes de estar realmente convencido, la realidad no podía ser de otra manera. En un sistema no amortiguado, no forzado, la energía no tiene a dónde ir y si el sistema oscila, será periódica. En el límite de pequeñas oscilaciones será sinusoidal. Incluso en el caso de oscilaciones de péndulo no lineales (oscilaciones grandes), el movimiento sigue siendo periódico. Uno puede verificar el diagrama de fase para ver este hecho Mecánica clásica avanzada / Espacio de fase. La parte intrigante de la pregunta para mí fue por qué oscila en absoluto. Existe esta explicación física y la explicación matemática.
Explicación física :
La energía impartida al sistema al proporcionar energía cinética impartiendo velocidad inicial o energía potencial al desplazarla inicialmente desde la posición de equilibrio. Lo que observamos en forma de oscilación temporal del péndulo es la hermosa danza de energía entre la energía cinética y la energía potencial, mientras se mantiene la energía total del sistema al mismo nivel que el inicialmente proporcionado al sistema, respetando así el [matemáticas] \ it {1 ^ {st}} [/ matemáticas] Ley de la termodinámica . Observe el movimiento que comienza en la posición de equilibrio estático o en la posición más inferior, cuando la energía potencial es cero (suponiendo un potencial cero en esta posición), la energía potencial solo puede aumentar a medida que la masa se aleja de esta posición en virtud de la velocidad que Cargas masivas. La masa se ralentiza a medida que la energía potencial se acumula y la masa finalmente se detiene y la energía potencial alcanza su valor máximo. La masa no tiene otro lugar a donde ir sino descender nuevamente acumulando energía cinética y el proceso continúa de nuevo.
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Explicación matemática :
Lo más interesante es cómo las matemáticas se alinean maravillosamente para dar sentido a la realidad física. Tiene que ver con la ecuación de Euler : [matemáticas] \ exp (i \ theta) = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ math]. Lo que quiero que recuerdes de esto es que, cuando tienes una exponencial elevada a una cantidad imaginaria, tendrás un comportamiento oscilatorio periódico debido a los cosenos [matemáticos] [/ matemáticos] y [matemáticos] [/ matemáticos].
Continuando, la ecuación de péndulo en el límite de oscilación pequeña viene dada por:
[matemáticas] \ ddot {\ theta} + {\ frac {g} {l}} \ theta = 0 [/ matemáticas]
Para resolver esta ecuación, sustituimos [math] \ theta (t) = [/ math] [math] exp (st) [/ math] en la ecuación anterior e intentamos resolver el parámetro [math] s [/ math]. Entonces, el problema es el álgebra simple para encontrar los valores de [math] s [/ math] que satisfarían la ecuación.
Ahora viene la parte que casi me pone la piel de gallina. Para que mi sistema se oscilice, he demostrado que debo obtener un valor imaginario para [math] s [/ math] que se encuentra encima del exponente. El polinomio más simple en [math] s [/ math] que produciría raíces imaginarias es el polinomio de orden [math] 2 [/ math]. Y por suerte, ¡tenemos una ecuación cuadrática en nuestras manos que es especial en el sentido de que siempre produce raíces imaginarias !
Tenga en cuenta que la solución imaginaria no habría ocurrido si tuviéramos un sistema de primer orden a tiempo. Por ejemplo, no observamos comportamiento oscilatorio en sistemas térmicos donde las ecuaciones contienen derivadas de primer orden en el tiempo. Incluso el oscilador con amortiguación tiene una ecuación de segundo orden en el tiempo, que produce oscilación solo como un caso especial (cuando satisface la “condición de amortiguamiento “) que nuevamente se atribuye al comportamiento más general de las raíces de la ecuación algebraica que se produce. Alguien señaló acertadamente acerca de “la efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales” La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales
