La diferencia entre los estados mixtos propios e impropios es la diferencia entre aquellos que pueden interpretarse como derivados de la ignorancia del estado puro (mezclas propias) y aquellos que no pueden interpretarse de este modo (mezclas impropias). Estas mezclas inadecuadas surgen cuando examina un subsistema de un estado puro más grande.
La distinción es sutil, y no conozco una forma de explicarla sin el uso extensivo del aparato de operadores de matriz de densidad. Y este es un aparato que generalmente no forma parte de un primer curso de mecánica cuántica. Así que ten cuidado, esto podría ser un poco crujiente.
Basta de excusas, empecemos.
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La mecánica cuántica normal describe un sistema que usa un vector de estado: [matemáticas] | \ psi_ {1} \ rangle [/ matemáticas]. Y esto está bien, pero no es la situación más general. Hay al menos dos circunstancias importantes en las que este enfoque no se puede utilizar:
- Donde hay incertidumbre sobre en cuál de varios estados puros podría estar.
- Donde el sistema está abierto (es decir, es un subsistema de un sistema más grande).
Comenzamos introduciendo operadores de densidad a través de la primera situación:
La ignorancia del estado del sistema …
Digamos que tenemos un conjunto de estados posibles en los que el sistema puede estar: [matemática] | \ psi_ {1} \ rangle, [/ matemática] [matemática] | \ psi_ {2} \ rangle, [/ matemática] [matemática ] | \ psi_ {3} \ rangle… [/ math] [math] | \ psi_ {n} \ rangle [/ math], cada uno con probabilidad [math] p_ {1}, p_ {2}, p_ {2} …, p_ {n} [/ matemáticas]. Luego definimos el operador de densidad :
[matemáticas] \ rho = \ sum_ {i} p_ {i} [/ matemáticas] [matemáticas] | \ psi_ {i} \ rangle \ langle [/ matemáticas] [matemáticas] \ psi_ {i} | [/ matemáticas]
Que es simplemente la suma de los proyectores para cada uno de los estados, ponderada por la probabilidad de que estén en el estado. Es bastante fácil ver eso para cualquier observable [matemática] O: [/ matemática]
[matemáticas] \ langle O \ rangle = Tr (\ rho O) [/ matemáticas]
Y resulta (aunque no voy a probar esto) que el operador de densidad es la forma más general de obtener cualquier cantidad medible que podamos encontrar. Además de poder expresar mezclas de estados puros [math] | \ psi_ {i} \ rangle [/ math], también tiene la ventaja de ser independiente de la base: solo hay un operador de densidad para cada sistema (a diferencia de muchas expresiones en términos de estados puros).
… o como subsistema de uno más grande:
Considere un estado enredado (un estado de giro EPR / Bell para este ejemplo). Este es un estado puro:
[matemática] | \ psi \ rangle = [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {2}} ([/ matemática] [matemática] | \ uparrow [/ matemática] [matemática] \ downarrow \ rangle + [/ math] [math] | \ downarrow \ uparrow [/ math] [math] \ rangle) [/ math]
Entonces la matriz de densidad de este estado puro es simplemente:
[math] \ rho _ {\ text {full}} = \ frac {1} {2} ([/ math] [math] | \ uparrow [/ math] [math] \ downarrow \ rangle [/ math] [math] \ langle [/ math] [math] \ uparrow [/ math] [math] \ downarrow [/ math] [math] | + [/ math] [math] | \ downarrow [/ math] [math] \ uparrow \ rangle [/ math] [math] \ langle [/ math] [math] \ downarrow [/ math] [math] \ uparrow [/ math] [math] | + [/ math] [math] | \ uparrow [/ math] [Matemáticas] \ downarrow \ rangle [/ math] [math] \ langle [/ math] [math] \ downarrow [/ math] [math] \ uparrow [/ math] [math] | + [/ math] [math] | \ downarrow [/ math] [math] \ uparrow \ rangle [/ math] [math] \ langle [/ math] [math] \ uparrow [/ math] [math] \ downarrow [/ math] [math] |) [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]
Pero ahora digamos que solo se nos permite hacer mediciones del primer electrón. Para entender lo que esto daría, realizamos una operación llamada trazo parcial (que es efectivamente un método para rastrear todos los grados de libertad asociados con la segunda partícula), y obtenemos una matriz de densidad reducida que resume todos los posibles observables para la primera solo electrón:
[math] \ rho _ {\ text {improper}} = \ frac {1} {2} ([/ math] [math] | \ uparrow [/ math] [math] \ rangle [/ math] [math] \ langle [/ matemática] [matemática] \ uparrow [/ matemática] [matemática] | + [/ matemática] [matemática] | \ downarrow [/ matemática] [matemática] \ rangle [/ matemática] [matemática] \ langle [/ matemática] [matemática] \ downarrow [/ matemática] [matemática] | [/ matemática] [matemática]) [/ matemática]
Como decir la diferencia…
Aquí está el quid: esta matriz de densidad reducida es localmente indistinguible de la matriz de densidad que podría obtener al ignorar por completo si el sistema estaba en un estado puro hacia arriba o en un estado puro hacia abajo. Si asignara un 50% de probabilidad a cada posibilidad, el estado mixto adecuado resultante se vería igual:
[matemática] \ rho _ {\ text {propia}} = \ frac {1} {2} ([/ matemática] [matemática] | \ uparrow [/ matemática] [matemática] \ rangle [/ matemática] [matemática] \ langle [/ matemática] [matemática] \ uparrow [/ matemática] [matemática] | + [/ matemática] [matemática] | \ downarrow [/ matemática] [matemática] \ rangle [/ matemática] [matemática] \ langle [/ matemática] [matemática] \ downarrow [/ matemática] [matemática] | [/ matemática] [matemática]) [/ matemática]
Y recuerde, la matriz de densidad codifica los resultados de todos los observables que podríamos obtener al medir este sistema. Por lo tanto, son localmente indistinguibles. Pero sabemos que en el caso de [math] \ rho _ {\ text {improper}} [/ math] hay otro estado enredado del sistema, y Bell nos dice que las estadísticas conjuntas de ambos electrones no pueden reproducirse interpretación de la ignorancia (es decir, por [matemáticas] \ rho _ {\ text {apropiado}} [/ matemáticas]). Y esta es la diferencia crítica entre las mezclas apropiadas e impropias. Pero esta es una diferencia que no puede detectar a menos que tenga acceso al sistema más grande.
¿Por qué son importantes en la medición?
Podemos ver esto aplicando estas lecciones al proceso de decoherencia.
En decoherencia, un sistema cuántico se enreda con el sistema del aparato de medición, y los términos de interferencia (es decir, todos aquellos que no están en la diagonal de la base “puntero” de ese aparato de medición) desaparecen rápidamente ( casi a cero).
Luego puede tomar la traza parcial para observar la matriz de densidad reducida para el sistema. Y, como en el ejemplo anterior, esta matriz de densidad reducida es indistinguible de la matriz de densidad preparada por alguien que simplemente ignora en qué estado de puntero puro han preparado el sistema.
¡Entonces, uno podría estar tentado a decir que el problema de medición ha sido resuelto! Simplemente interpretemos la matriz de densidad reducida como una mezcla pura, es decir, como nuestra ignorancia de la posición del puntero. Entonces podemos averiguarlo mirando el puntero.
Pero esto es interpretar una mezcla inadecuada como si fuera una mezcla adecuada .
O, dicho de otra manera, está interpretando un “y” como un “o”. Todos los estados puros del puntero todavía están en la función de onda más grande (es decir, en el sistema completo), y debemos mostrar por qué los otros desaparecen (y recuerden, esta desaparición está en contradicción con la evolución unitaria). Aún no lo hemos hecho.
¿Qué quieren decir las personas cuando dicen que la decoherencia resuelve el problema de medición?
Ahora, si eres una persona de Everettian / muchos mundos, esto te deja exactamente donde quieres estar. Puede aceptar completamente que la decoherencia da un “y”, no un “o” en la matriz de densidad reducida. La gente de Everettian / muchos mundos puede tomar esa conclusión completamente en serio e interpretar que la matriz de densidad reducida expresa lo que “usted” ve en su rama, pero acepta absolutamente que todos los demás estados de puntero también se realizan.
Todos los que NO aceptan a Everett deben agregar una cuenta de cómo se selecciona un solo estado de puntero de la matriz de densidad reducida (incluso la escuela “cállate y calcula” tiene que hacerlo, aunque presumiblemente dicen “Cállate y selecciona uno con una probabilidad dada por la regla de Born “)
El problema es que hay algunas personas que parecen argumentar seriamente que la decoherencia resuelve el problema de medición por sí solo . Tomándolos en su palabra, esto equivale a comprometerse con la interpretación de Everett. Pero a veces es difícil entender si aceptan tácitamente la visión de los mundos Everett / Many, o si simplemente han cometido el error de combinar mezclas apropiadas e incorrectas.
