¿Cuál es exactamente el significado del complejo conjugado de la función de onda?

Para una función de onda en la base de posición, [math] \ psi (x) [/ math], la función de onda conjugada compleja [math] \ psi ^ * (x) [/ math] representa la función de onda con inversión de tiempo , que es decir, la evolución futura de [math] \ psi ^ * (x) [/ math] se verá como el pasado de [math] \ psi (x) [/ math].

Podemos ver esto matemáticamente tomando el complejo conjugado de la ecuación de Schrödinger. Si [math] H \ psi = i \ hbar \, \ partial \ psi / \ partial t [/ math], entonces, dado que [math] H [/ math] es Hermitian, obtenemos [math] H \ psi ^ * = -i \ hbar \, \ partial \ psi ^ * \! / \ parcial t [/ matemáticas]. Entonces [math] \ psi ^ * (x, t) [/ math] no es una solución válida para la ecuación de Schrödinger ya que el signo del lado derecho cambia, pero podemos solucionarlo también sustituyendo [math] t \ mapsto -t [/ math], que invierte la dirección del tiempo.

No creo que sea correcto decir que la función de onda y su complejo conjugado son indistinguibles. Por un lado, esta operación de inversión de tiempo invierte la dirección del momento, por lo que si [math] \ psi (x) [/ math] representa un paquete de ondas que viaja hacia la derecha, entonces [math] \ psi ^ * (x) [/ math] representa un paquete de ondas que viaja hacia la izquierda.

Como solución a la ecuación de Schroedinger. Tiene una función cuyo valor es un número complejo. En general

Fi (xyz) = fr (xyz) + i fc (xyz)

Asignación de un elemento complejo a cada elemento de R3 (xyz)
Este Fi es la función de onda.
Su conjugado complejo es la función.

Fi * (xyz) = fr (xyz) – i fc (xyz)

El producto Fi Fi * es una función real y la teoría postula que es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en el punto (xyz)

Las funciones de onda en física normalmente se expresan en términos de números complejos. Normalmente no usa cos (x) o sin (x), sino e ^ (ix), basado en la fórmula de Euler

e ^ (ix) = cos (x) + i sin (x)

Eso es cierto tanto para escalares complejos como para vectores complejos. (Tradicionalmente, los bosones de espín entero como los fotones solían describirse a través de funciones de onda escalar, y los fermiones de espín de medio entero como electrones a través de funciones de onda vectorial, la función en cualquier caso es el resultado de una ecuación diferencial como Schroedinger o Fermi-Dirac .)

El conjugado de un número complejo a + ib es a-ib. Hay algunos usos de eso, por ejemplo, al multiplicar un escalar complejo con su conjugado y tomar la raíz cuadrada de ese producto se obtiene el valor absoluto. El valor absoluto de una función de onda denota algo como “intensidad de existencia” o “probabilidad de permanencia” en física.

Una función de onda se escribe en forma de cis (wt), que significa a (cos (wt) + i sin (wt)),

El conjugado es un cis (-wt), que significa a (cos (wt) -i sin (wt)).

La importancia relativa es que no se pueden distinguir los dos, porque es puramente una medida arbitraria diseñada para convertir la onda en un movimiento circular, pero una onda sinosoide, finalizada, puede generarse igualmente por una rotación en sentido horario o antihorario, y esto está representado por + w y -w en la ecuación cis. Todo lo que ves es un cos (wt).

En un aspecto, creo que significa que la función de onda y su complejo conjugado contienen la misma cantidad de información. Es como si usa ket o sujetador no importa. Lo que importa es el módulo cuadrado, que es la cantidad que tiene un significado físico.

En otro aspecto, la función de onda estacionaria es indistinguible de su complejo conjugado de potencial real. Considere la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

[matemáticas] – \ frac {\ mathrm {d} ^ 2} {\ mathrm {d} x} \ psi \ left (x \ right) + V \ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) = E \ psi \ left (x \ right) [/ math]

Es la misma ecuación que la que obtendría al tomar el conjugado complejo en ambos lados (para real [matemática] V \ izquierda (x \ derecha) [/ matemática]). Entonces, el conjugado complejo de una función de onda estacionaria también es una solución a esta ecuación con el mismo valor propio. Deben ser iguales hasta un factor de fase constante. Creo que podemos probar que en este caso, la función de onda estacionaria es una amplitud real multiplicada por una fase arbitraria. (Al menos esto es cierto para el valor propio no degenerado, pero dudo que al tomar el complejo conjugado de una función de onda estacionaria, obtendríamos otra función de onda linealmente independiente para el mismo valor propio de energía degenerada, aunque no tengo la prueba .)

De todos modos, creo que los autores simplemente no quieren decir distinción (físicamente) entre sostén y ket. Hay una dualidad entre ellos.

Respuesta larga corta:

Ni una función de onda ni su conjugado complejo tienen significado o significado real. No se pueden definir. Simplemente representa que una función de onda transporta energía e impulso junto con ella.

Sí, cuando una función de onda y su conjugado se multiplican entre sí, obtenemos un hermoso término llamado densidad de probabilidad de posición. A través de esto, podemos encontrar la probabilidad de que un electrón lo encuentre en una región determinada. Este término tiene un significado real y un significado.

Entonces, tome una función de onda y su conjugado, multiplíquese entre sí y obtendrán probabilidad. Esto es.

Un número complejo:

Está escrito como A + i B.

Su conjugado:

Escrito como A – i B.

Multiplique ambos, obtendrá un término real.

Solo para hacer que las cosas sean reales y significativas, trabajamos en Quantum Physics World. Evitamos todos los términos imaginarios y solo buscamos los reales. Ese es nuestro único propósito.

Energía y Momentum son operadores hermitianos. Esto significa que siempre aportarán valores reales. Siempre son reales

E = E *; P = P * ambos son reales siempre.

De hecho no puedes. Y no son solo funciones de onda …

Viene del hecho de que + i y -i son matemáticamente indistinguibles. Esta publicación trata sobre lo que significa esa extraña declaración, por qué es así y algunas de las implicaciones (incluida la pregunta que hizo).

El complejo conjugado de a + bi es a – bi. Esa es la definición.

El conjugado complejo de la ecuación de onda f (a + bi) = g (a + bi) + h (a + bi) i donde g y h tienen un valor real es g (a + bi) – h (a + bi) i .

Alerta de spoiler masivo: si f es una ecuación de onda, yf (a + bi) = g (a + bi) + h (a + bi) i, entonces f (a – bi) = g (a + bi) – h (a + bi) i. Tome un número, encuentre su conjugado, bombee a través de una ecuación de onda, luego tome el conjugado de la respuesta. Eso le da la misma respuesta que simplemente encontrar el valor de la función en ese punto. Es un hecho bastante extraño y útil, y bien puede preguntarse por qué es así.

Ya sabe que para cualquier polinomio en Reals, si a + bi es una raíz, entonces también lo es a – bi. Si cambiaste cada referencia a i por ser -i, esto es lo que obtienes:

Si a + b (-i) es una raíz, entonces también lo es a – b (-i). Lo que se simplifica a si a – bi es una raíz, también lo es a + bi. Que es lo mismo que la declaración para + i.

Entonces, ¿cuál es la interpretación real (whoops, adecuada) de la raíz cuadrada de -1, + i o -i? ¿Cómo puedes distinguirlos? ¿Cómo puedes distinguirlos?

No puedes

Que el eje y esté etiquetado con números imaginarios “positivos” hacia arriba (+ 1i, + 2i, + 3i ..) es solo una convención. Dibuje el eje y alrededor del otro lado, apuntando hacia abajo, y el único efecto es que forme una imagen especular. Las rotaciones en sentido horario se convierten en rotaciones en sentido antihorario. No se puede saber si usted es la cosa real o la imagen especular, porque ambos hacen “predicciones” idénticas. Son indistinguibles. Es como discutir si la izquierda es lo opuesto a la derecha, o si es al revés.

Por lo tanto, no tenemos forma de distinguir entre + i y -i en matemáticas, y mucho menos en física. Es completamente arbitrario cuál eliges como real (whoops) i.

Pero en física, hay un giro interesante, relacionado con la rotación que mencioné anteriormente. Las ecuaciones de onda (todas las ecuaciones en física, en realidad) son funciones analíticas. Esto está relacionado con la idea de que no debería importar cómo diseñe el eje (por ejemplo, qué dirección elige como norte) porque el espacio no tiene una dirección preferida. Las funciones donde el valor de la derivada de una función es independiente de la elección del eje son estas funciones analíticas.

Pero la función conjugada compleja no es analítica. Si giró el eje Real e Imaginario alrededor de (0,0), la gráfica de la función conjugada

f (a + bi) = a – bi

no simplemente gira. Se convierte en una reflexión sobre el eje x, una cosa muy diferente.

Entonces, este requisito de que las ecuaciones físicas sean analíticas hace que esto sea, en mi opinión, aún más extraño. No solo los pares conjugados son indistinguibles en matemáticas, ninguna ley física subyacente puede separar pares conjugados.

Muy difícil de entender. Implicación práctica: no mucho. Dos soluciones que dicen lo mismo por el precio de un cálculo.

Se requiere el conjugado para obtener la amplitud al cuadrado de la función de onda. Como reemplazar un número de onda por su conjugado no cambia las probabilidades, es indistinguible de la función de onda original.

Advertencia: no puede conjugar una parte de la función de onda del sistema completo, esta es una propuesta de todo o nada.