Por simplicidad, supongo un escenario 1-D. La derivación se generaliza fácilmente. Otra suposición es que las fuerzas involucradas son conservadoras, es decir, pueden representarse como el gradiente de una energía potencial. Esto también se puede relajar un poco (al menos para las fuerzas de los campos magnéticos), pero diría que, incluso en la mecánica clásica, las fuerzas fundamentales (gravitacionales, eléctricas / magnéticas) no son friccionales, esto no es un gran problema.
Supongamos que [math] x [/ math] y [math] p [/ math] representan los operadores de mecánica cuántica apropiados que representan la posición y el momento. En la mecánica cuántica, hay un operador especial llamado Hamiltonian [math] H [/ math], de modo que se puede calcular la evolución temporal de la función de onda: y, por lo tanto, la evolución temporal de cualquier valor esperado de un observable. Esto lleva a los siguientes resultados:
[matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ langle x \ rangle + \ frac {1} {\ mathrm {i} \ hbar} \ langle [H, x] \ rangle = 0 [/ matemáticas]
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[matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ langle p \ rangle + \ frac {1} {\ mathrm {i} \ hbar} \ langle [H, p] \ rangle = 0 [/ matemáticas]
Ahora el hamiltoniano típicamente corresponde a la energía, y para una partícula no relativista:
[matemáticas] H = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) [/ matemáticas].
El uso de la relación de conmutación fundamental [math] [x, p] = \ mathrm {i} \ hbar [/ math] le permite a uno derivar
[matemática] [H, x] = – \ matemática {i} \ hbar \ frac {p} {m} [/ matemática]
[matemáticas] [H, p] = \ mathrm {i} \ hbar \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x} [/ math].
Conecte las ecuaciones anteriores para obtener
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} \ langle x \ rangle} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ langle p \ rangle} {m} [/ math]
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} \ langle p \ rangle} {\ mathrm {d} t} = – \ left \ langle \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x} \ right \ rangle [/ math].
Combina esto para obtener eso
[matemáticas] m \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ langle x \ rangle} {\ mathrm {d} t ^ 2} = – \ left \ langle \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm { d} x} \ right \ rangle [/ math].
En un sistema cuántico que se describe adecuadamente como clásico, la posición se conoce exactamente, por lo que se pueden eliminar los valores esperados. Dado que [math] F = – \ mathrm {d} V / \ mathrm {d} x [/ math] y la aceleración se define como [math] a = \ mathrm {d} ^ 2 x / \ mathrm {d} t ^ 2 [/ math], concluimos que [math] F = ma [/ math], que es la Ley de Newton.
