Bien…
Formulemos la pregunta con cuidado. Dado un límite en la aceleración adecuada [matemáticas] g [/ matemáticas], ¿cuánto tiempo tarda una nave espacial en acelerar a [matemáticas] v [/ matemáticas] según lo medido por un observador en un marco de descanso inicial [matemáticas] O [/ matemáticas]; (a) en términos del tiempo apropiado [matemáticas] \ tau [/ matemáticas] y (b) en términos del tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] medido por un observador en [matemáticas] O [/ matemáticas]. Aquí “tiempo apropiado” se refiere al tiempo que se mantiene en el barco.
Primero, consideremos el asunto desde el punto de vista de un observador en [math] O [/ math]. Él tiene
- ¿Cómo se calcula la velocidad a partir de un gráfico de aceleración?
- ¿Crees que podemos viajar más rápido que la velocidad de la luz? ¿O estaremos siempre limitados? ¿Crees en las limitaciones?
- ¿Qué pasa si una masa puntual recibe un impulso que aumenta su velocidad a 'c + 1'?
- ¿Qué significa ser una covariante de Lorentz o tener simetría de Lorentz?
- ¿Qué significa la palabra 'relatividad' en la teoría de la relatividad general?
[matemáticas] mg = \ frac {dp} {dt} = m \ frac {d \ gamma x} {dt} [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] g = \ frac {xd \ gamma + \ gamma dx} {dt} [/ matemáticas]
Con un poco de álgebra podemos resolver esta ecuación, dando
[matemáticas] v = \ frac {dx} {dt} = \ frac {gt} {\ sqrt {1 + (\ frac {gt} {c}) ^ 2}} [/ matemáticas]
Puede resolver esto para que [math] t [/ math] obtenga
[matemáticas] t = \ frac {vc} {g \ sqrt {c ^ 2 – v ^ 2}} [/ matemáticas]
Si tomamos [matemáticas] g = 10 [/ matemáticas] m / s (una gravedad) y [matemáticas] v = 0.9c [/ matemáticas] (90% de [matemáticas] c [/ matemáticas]) obtenemos
[matemáticas] t = \ frac {0.9 c ^ 2} {10c \ sqrt {.19}} = \ frac {0.09 c} {\ sqrt {0.19}} \ aprox 6 \ veces 10 ^ 7 [/ matemáticas] segundos – alrededor de 1.9 años.
Para el tiempo a bordo (apropiado) necesitamos usar Rindler Coordinates
[matemáticas] ct = \ frac {c ^ 2} {g} \ sinh (\ frac {g \ tau} {c}) [/ matemáticas]
Un poco de álgebra muestra
[matemáticas] \ tau = \ frac {c} {g} \ sinh ^ {- 1} (\ frac {gt} {c}) [/ matemáticas]
Lo cual, para los parámetros dados anteriormente, resulta ser aproximadamente [matemática] 4.3 \ veces 10 ^ 7 [/ matemática] segundos, o 1.36 años.
