Esto funciona cuando [math] n [/ math] es lo suficientemente grande como para que consideremos la distribución continua de los electrones.
Considere la distribución de carga en la línea como [math] \ lambda [/ math] (un valor negativo porque estamos hablando de electrones). El siguiente diagrama muestra una forma de calcular el campo inducido por un elemento infinitesimal de la línea:
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Debido a la simetría de la distribución alrededor de la línea vertical que pasa por el punto medio, cualquier componente horizontal del campo inducido a una distancia [matemática] y [/ matemática] por encima se cancelará. El componente vertical se dirigirá hacia adentro (es decir, hacia la línea cargada). El componente vertical del campo inducido debido al elemento infinitesimal de longitud [math] \ mathrm {d} l [/ math] viene dado por
[math] \ mathrm {d} E = \ dfrac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0}. \ dfrac {\ lambda \ mathrm {d} l} {r ^ 2} \ cos \ theta [/ math]
Tenga en cuenta que [math] \ cos \ theta = \ dfrac {y} {r} [/ math].
También,
[matemáticas] \ dfrac {r \ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} l} = \ cos \ theta \ implica \ mathrm {d} l = \ dfrac {r \ mathrm {d} \ theta} { \ cos \ theta} [/ math]
Así,
[math] \ mathrm {d} E = \ dfrac {\ lambda} {4 \ pi \ varepsilon_0}. \ dfrac {\ mathrm {d} \ theta} {r} = \ dfrac {\ lambda} {4 \ pi \ varepsilon_0y} \ cos \ theta \ mathrm {d} \ theta = \ dfrac {\ lambda} {4 \ pi \ varepsilon_0y} \ mathrm {d} (\ sin \ theta) [/ math]
Para la integración, tenga en cuenta que [math] \ sin \ theta [/ math] varía de [math] – \ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + 4y ^ 2}} \ to \ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + 4y ^ 2}} [/ math]. Así,
[matemáticas] E = \ dfrac {\ lambda x} {2 \ pi \ varepsilon_0y \ sqrt {x ^ 2 + 4y ^ 2}} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] \ lambda x = ne [/ math],
donde [math] e [/ math] es la carga en un solo electrón.
Por lo tanto, tenemos el campo eléctrico inducido por todos los electrones como
[matemáticas] \ color {azul} {E = \ dfrac {ne} {2 \ pi \ varepsilon_0y \ sqrt {x ^ 2 + 4y ^ 2}}} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esto está de acuerdo con la intuición. Para, el segmento de línea de longitud [matemática] x [/ matemática] se ve casi como un punto desde muy lejos. Es decir, si [matemática] y >> x [/ matemática], entonces [matemática] x ^ 2 + 4y ^ 2 \ aprox 4y ^ 2 [/ matemática]. Así,
[matemática] E \ aprox \ dfrac {ne} {4 \ pi \ varepsilon_0y ^ 2} [/ matemática], para [matemática] y >> x [/ matemática]
que es como si los electrones [matemáticos] n [/ matemáticos] estuvieran concentrados en un solo punto.
