Dependiendo de su tamaño, las temperaturas de Hawking del agujero negro pueden ser altas o bajas. Cuando son algo que consideramos alto, la vida útil restante del agujero negro es muy corta. Entonces, una respuesta es que todos los cálidos ya se han evaporado, por lo que solo nos quedan los fríos.
Veamos si podemos derivar la temperatura de un agujero negro. Estoy un poco oxidado, así que no lo sé.
Primero, derivemos la velocidad de escape clásica de un orbe de radio [matemática] R [/ matemática] y masa [matemática] M. [/ Matemática]
Digamos, por ejemplo, que el orbe es la tierra y tenemos una bola de masa [matemática] m [/ matemática] que queremos disparar para escapar de la velocidad de la tierra. ¿Qué tan rápido necesitamos para impulsarlo?
La energía cinética de la pelota [matemática] \ frac 1 2 mv ^ 2 [/ matemática] debe igualar el cambio de la pelota en energía potencial para escapar al infinito, [matemática] \ dfrac {GMm} {R}. [/ Matemática]
[matemáticas] \ dfrac 1 2 mv ^ 2 = \ dfrac {GMm} {R} [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ sqrt {\ dfrac {2GM} {R}} [/ matemáticas]
La raíz cuadrada da la velocidad que necesitamos alcanzar para evitar que la pelota caiga de regreso a la tierra (descuidando la resistencia del aire).
Vamos a darle la vuelta e imaginar cuán pequeño debería ser el radio [matemática] R [/ matemática] para que ni siquiera la luz pueda escapar. Entonces [math] v = c, [/ math] y resolvemos para [math] R [/ math]:
[matemáticas] R = \ dfrac {2MG} {c ^ 2} [/ matemáticas]
Es un hecho extraño de la física del agujero negro que algunas de las mismas ecuaciones de gravedad newtoniana aparecen en los cálculos de agujero negro / relatividad general, pero con significados ligeramente diferentes. Este es un ejemplo. [math] R = \ dfrac {2MG} {c ^ 2} [/ math] es el radio del horizonte de eventos de un agujero negro que no gira, llamado Radio Schwarzschild.
Una vez que la luz o algo está dentro del Radio Schwarzschild de una masa, nunca puede escapar. Pero intentarlo no es como la bola newtoniana que puede llegar muy alto antes de que retroceda. Aquí, como todos sabemos, en Relatividad general, una vez pasado el horizonte de eventos, el espacio-tiempo está tan curvado que el objeto nunca puede volver a pasar por el horizonte.
Jacob Bekenstein calculó el cambio en el tamaño de un agujero negro cuando se agrega un poco de entropía. ¿Qué es la entropía, preguntas? La entropía es información oculta, como la posición y la velocidad de cada molécula de agua en su baño. Es donde la información va a morir, pero nunca puede morir, se conserva. Solo se puede ocultar.
Podemos pensar en la entropía en unidades de bits, cada bit esencialmente la respuesta a una pregunta de sí / no. Bekenstein se aproximó un poco como un fotón cuyo radio era igual al tamaño del agujero posterior. Mucho más grande que eso y el fotón iría alrededor del agujero negro como una larga onda de radio alrededor de un edificio. Mucho más pequeño que eso y habría información sobre dónde entró el fotón, más que el bit de entrada o salida que está buscando.
El fotón de Bekenstein tiene una longitud de onda [matemática] R, [/ matemática] así que la energía [matemática] E = hc / R, [/ matemática] constante de Planck que indica que ahora estamos considerando la mecánica cuántica. Convertimos eso en una masa usando [math] E = mc ^ 2, [/ math] entonces [math] \ Delta m = E / c ^ 2 = h / Rc [/ math] es el aumento de masa del agujero negro cuando agregamos un bit Entonces
[matemáticas] \ Delta R = \ dfrac {2 G \ Delta m} {c ^ 2} = \ dfrac {2G h} {R c ^ 3} [/ matemáticas]
[matemática] R \ Delta R = \ dfrac {2G h} {c ^ 3} [/ matemática]
Voy a hacer un pequeño cálculo aquí y diré [matemáticas] R \ Delta R = \ frac 1 2 \ Delta R ^ 2. [/ Matemáticas] Lo que significa en inglés es el lado derecho [matemáticas] \ dfrac {2G h } {c ^ 3} [/ math] es una constante, que representa la adición de un bit de entropía al agujero negro. Entonces [math] R \ Delta R [/ math] es el mismo cada vez que se agrega un bit. Eso significa que agregar un bit a una esfera pequeña hace que su radio aumente mucho más que agregar un bit a una esfera grande. Lo que es constante es el cambio en el área de superficie de la esfera, [matemática] \ Delta R ^ 2. [/ Matemática] En otras palabras, cada bit aumenta el área de un agujero negro en una cantidad constante. Un poco tiene un área!
[matemáticas] \ Delta R ^ 2 = \ dfrac {4Gh} {c ^ 3} [/ matemáticas]
Esa es (aproximadamente) el área de un poco. [matemática] R ^ 2 [/ matemática] no es realmente el área de una superficie de una esfera, por lo que necesitamos introducir una [matemática] 4 \ pi. [/ matemática] La idea de Bekenstein era realmente una aproximación, así que No hay necesidad de molestarse. Hawking rehizo el cálculo y obtuvo una [matemática] 2 \ pi [/ matemática] que incorporó a la constante de Planck y un 4 en el denominador,
[matemáticas] A = \ dfrac {G \ hbar} {4c ^ 3} [/ matemáticas]
Esa es el área de un poco. Es el área de Planck, realmente 1/4 del área de Planck. El área de Planck es una unidad de área totalmente independiente de las unidades humanas, formada al combinar la constante gravitacional de Newton [matemática] G, [/ matemática] la constante de Planck [matemática] \ hbar, [/ matemática] y la velocidad de la luz [matemática] c. [/ math] Es del tamaño de cuatro bits. Lo que es especialmente extraño es que la unidad básica de información corresponde a un área, no a un volumen. Uno pensaría que el volumen determinaría cuánta información podría caber en un espacio, pero es el área.
¿Qué tiene que ver todo eso con la temperatura? Es difícil de explicar si no has estudiado mecánica estadística, pero la temperatura es básicamente la derivada de la energía con respecto a la entropía. En otras palabras, es el cambio de energía cuando agregamos una unidad de entropía. Eso es realmente difícil de entender cuando lo aprendes por primera vez, pero vale la pena intentarlo.
Espere. Ya sabemos todo sobre cuánto cambia la energía cuando se agrega un poco de entropía, ¿no? Eso es [matemáticas] hc / R. [/ Matemáticas]
[matemáticas] kT = \ Delta E = hc / R = hc / (2MG / c ^ 2) = hc ^ 3 / 2MG [/ matemáticas]
[matemáticas] T = \ dfrac {hc ^ 3} {2kG M} [/ matemáticas]
Utilizamos la aproximación de Bekenstein. La fórmula correcta de Hawking tiene una constante diferente pero es esencialmente la misma:
[matemáticas] T = \ dfrac {\ hbar c ^ 3} {8 \ pi k GM} [/ matemáticas]
La constante [matemática] k [/ matemática] de Boltzman es el factor de conversión de temperatura a energía. [matemáticas] T [/ matemáticas] es la temperatura de Hawking, la temperatura que siente un observador a lo lejos.
De todos modos, vemos que la masa del agujero negro está en el denominador. Cuanto más grandes son, más fríos son. Si conectas diferentes masas, verás que la masa del sol o más grande es realmente muy fría. Para una masa solar, esto equivale a 60 nano Kelvin. Incluso los agujeros negros más grandes son más fríos.
Un agujero negro alrededor de la masa de la luna tiene una temperatura de Hawking alrededor de [matemáticas] 2.7 ^ \ circ, [/ matemáticas] la temperatura de la radiación de fondo cósmica. A diferencia del artículo de Wikipedia, eso no significa que un agujero negro esté en equilibrio con su entorno. Si el agujero negro absorbiera exceso de materia o energía, se enfriaría y, en una respuesta positiva, continuaría absorbiendo, creciendo y enfriándose aún más. Si se irradiara un poco más, se calentaría más que los alrededores y continuaría irradiando, eventualmente explotando. No hay un equilibrio real.
¿Por qué la temperatura es tan baja? La constante se ve bastante grande:
[matemáticas] \ dfrac {\ hbar c ^ 3} {8 \ pi k G} \ aprox 10 ^ {23} [/ matemáticas] kilogramo Kelvin.
La razón por la cual la temperatura es tan pequeña es que la masa del sol es tan grande, alrededor de [matemáticas] 10 ^ {30} [/ matemáticas] kilogramos.
Para un agujero negro del tamaño de una persona tendríamos una temperatura enorme, [matemática] 10 ^ {21} [/ matemática] K, es un agujero negro a punto de explotar, si aún no lo ha hecho.
