Para entender la respuesta a esta pregunta, es esencial darse cuenta de cómo se define matemáticamente la curvatura. Existen esencialmente dos tipos de curvatura:
- Curvatura intrínseca: describe cómo un espacio está intrínsecamente curvo, independientemente de cómo se puede (o no) incrustar en otro espacio.
- Curvatura extrínseca: la curvatura extrínseca, más o menos, describe la curvatura de un objeto a medida que está incrustado en un espacio dimensional superior.
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} R = 8 \ pi G {T} _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Esta es la ecuación de campo de Einstein. Describe la relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el impulso de estrés en esa ubicación. Ahora, la definición de curvatura utilizada en la teoría de la relatividad general de Einstein no es lo mismo en lo que piensas cuando normalmente piensas en objetos curvos.
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La noción cotidiana de curvatura, relacionada con su pregunta, está formalmente relacionada con la noción formal de curvatura extrínseca. Mientras que la curvatura del espacio-tiempo en la relatividad es del tipo conocido como curvatura intrínseca.
En primer lugar, comenzaremos por comprender “¿qué es la curvatura?”. Básicamente, se dice que un espacio es curvo cuando no es euclidiano. Un espacio plano por definición es euclidiano.
Ahora, ¿cómo sabemos si un espacio es euclidiano o no?
La geometría nos guiará. Asuma un punto en su espacio y márquelo como A. Ahora, comenzando desde a, mueva una cierta distancia y seleccione otro punto B. Usando B como referencia, gire 90 grados a la ruta original y mueva la misma distancia, para alcanzar un punto C. Ahora usando C como referencia, gire 90 grados y mueva la misma distancia hacia arriba.
Si el espacio es euclidiano, es esencial que el punto final al que llegue no sea el mismo que el punto inicial A. Esto generalmente implica que, en un espacio euclidiano, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados Sin embargo, si el espacio no es euclidiano; Puede llegar al mismo punto inicial.
Esto significa que, geométricamente, podemos diferenciar entre un espacio euclidiano y un espacio no euclidiano. En un espacio euclidiano, el área de un círculo es [matemática] \ pi {r} ^ {2} [/ matemática], mientras que en un espacio no euclidiano, el área de un círculo puede ser mayor o menor que [matemática] \ pi {r} ^ {2} [/ math] pero no igual.
La curvatura es la medida en que un espacio no es euclidiano. Cuanto más se desvían sus características de las de un espacio “plano”, más es la curvatura de un espacio. Esto es exacto para la definición intrínseca de curvatura, porque no hay nada que pueda hacer en ninguna región arbitrariamente pequeña para medir la diferencia de un plano, mientras que en la esfera puede dibujar triángulos arbitrariamente pequeños y medir la diferencia de la suma de sus ángulos de 180 grados (La tasa exacta de divergencia de 180 grados sería una forma de caracterizar un valor numérico de curvatura).
Toma una hoja de papel. Ahora envuélvelo alrededor de un cilindro. Suavemente. Fácil, verdad?
Ahora toma otra hoja de papel. Envuélvalo alrededor de una pelota, sin arrugarse ni rasgarse. No se puede hacer, ¿correcto?
Esta es la diferencia entre la curvatura intrínseca y extrínseca . Tanto el cilindro como la bola son superficies curvas. Pero la curvatura del cilindro es extrínseca: solo tiene sentido en referencia a una dimensión superior (en este caso, una superficie bidimensional doblada en la tercera dimensión).
En contraste, la pelota tiene una curvatura intrínseca. Es manifiestamente diferente de una hoja de papel: la hoja no se puede enrollar alrededor de la pelota. Si estuviera hecho de goma, podría ser, pero solo a costa de estirarlo, cambiando las distancias entre los puntos. La medida de distancias entre puntos vecinos se llama métrica .
Al estirar una superficie de goma para que encaje suavemente en una pelota, está alterando su métrica. Pero la métrica no necesita ninguna referencia a un espacio dimensional superior: es una propiedad intrínseca de la superficie misma, que mide qué tan lejos están sus puntos. No necesita dimensiones adicionales para leer las distancias de un gráfico.
Ahora mira estas dos imágenes.
Este es un circulo.
Esto es un corazon.
Ahora, ¿qué sucederá cuando digo que el gráfico anterior también es un círculo? No lo vas a creer. Pero luego, si lo observa de cerca, se dará cuenta de que el corazón es un círculo, que se observa desde una perspectiva oblicua. Es decir, si, por alguna razón, transformamos nuestros ejes de una manera particular, las cosas comienzan a aparecer de manera diferente.
Podría haber argumentado que el corazón, que es esencialmente una forma 2D, (ya que lo obtuvimos en el plano 2D anterior), es básicamente un círculo que se está deformando en una tercera dimensión. Pero así es como funciona. La curvatura del plano en la ecuación del corazón es “intrínseca”, es decir, no depende de cómo o si el plano se curva hacia una dimensión externa o no. Solo depende de cómo las transformaciones de coordenadas en el plano en sí difieren de la perspectiva plana. Puede haber una dimensión adicional en este caso (que es la tercera dimensión), pero su existencia no se deduce del hecho de que nuestro espacio fuera curvo.
Resumir,
Dado que GR dice que el espacio-tiempo se deforma, entonces ¿no necesita una dimensión más alta para deformarse?
No, no lo hace. En relatividad general, lo que interpretamos como gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo. Este concepto de curvatura básicamente significa que las distancias entre dos puntos se hacen más grandes o más pequeñas. No hay necesidad de un espacio de mayor dimensión para que el espacio-tiempo se curve “en”.
La curvatura del espacio-tiempo en la teoría general de la relatividad existe sin referencia a una dimensión superior, ya que está completamente definida por cómo se miden las distancias dentro del espacio-tiempo mismo. Así que no, aunque puede haber una quinta dimensión por lo que sabemos, su existencia no se deduce del hecho de que nuestro espacio-tiempo tiene una curvatura intrínseca.
