¿Por qué pensamos en el espacio-tiempo como una variedad?

¡Los detalles de su pregunta tienen múltiples preguntas! Vamos a tomarlos uno por uno.

¿Por qué pensamos en el espacio-tiempo como una variedad?

Antes de la Relatividad Especial, pensábamos que vivíamos en un espacio euclidiano 3D y que el tiempo era un parámetro independiente. Después de la relatividad especial nos dimos cuenta de que el espacio y el tiempo estaban conectados y no eran independientes. Pero todavía estábamos en un espacio plano euclidiano como el llamado Espacio Minkowski.

Introduzca la relatividad general. Einstein vio la gran similitud entre las geodésicas en espacios curvos (por ejemplo, los grandes círculos de longitud en la Tierra) y el movimiento de caída libre bajo la influencia de la gravedad. Las similitudes eran demasiadas para ignorarlas.

En un espacio curvo, dos geodésicas (que son análogas a las líneas rectas del espacio euclidiano plano) que comienzan paralelas entre sí no permanecen paralelas; esto se llama desviación geodésica. Por ejemplo, la superficie de una esfera es una variedad curva bidimensional. Imagina que estás parado en el ecuador y estás sosteniendo un extremo de una barra larga paralela al ecuador mientras tu amigo está sosteniendo el otro extremo. Ahora ambos comienzan a caminar hacia el norte. Muy pronto, ambos sentirán que la varilla se empuja cuando la distancia entre ambos comience a disminuir a medida que avanzan hacia el polo norte. Ahora considere dos partículas que caen hacia la Tierra desde una gran altura ligeramente lejos una de la otra. Pueden comenzar a viajar en paralelo, pero dado que las líneas de fuerza gravitacional convergen en el centro de la Tierra, las partículas convergerán entre sí.

Considere otro ejemplo: fuerzas de marea. Debido a que las fuerzas gravitacionales no son uniformes en áreas grandes, los cuerpos grandes sentirán fuerzas diferentes en puntos diferentes y se denominan fuerzas de marea. Por ejemplo, imagine una persona muy alta, digamos unos pocos miles de kms de altura. Esta persona sentiría una fuerza gravitacional más grande en sus pies que en su cabeza, que se sentiría similar a una fuerza de estiramiento en todo el cuerpo. Si la misma persona enorme cayera horizontalmente desde una gran altura hacia la Tierra, la desviación geodésica antes mencionada entraría en juego y su cabeza y pies se acelerarían en diferentes direcciones. Esta también es una fuerza de marea y matemáticamente es equivalente a la desviación geodésica, que a su vez es directamente proporcional a algo llamado Tensor de Curvatura de Reimann, este es un objeto matemático que mide cuán curvado es un colector.

Tercero: en un área pequeña, la caída libre es exactamente lo mismo que estar en un marco de referencia inercial. Por ejemplo, es posible que haya oído hablar del famoso experimento mental de Einstein de una persona en un ascensor cerrado que cae. Si esta persona dejara caer una pelota, la pelota flotaría como si él y el elevador estuvieran en el espacio exterior. Ningún experimento de física local podría determinar si la persona estaba cayendo libremente o si estaba lejos de todas las influencias en el espacio exterior. Esto es nuevamente modelado fácilmente por las matemáticas en una variedad curva (diferenciable). Un teorema en geometría diferencial nos dice que siempre podemos considerar un área pequeña en un múltiple curvo como plana al primer orden (más sobre esto más adelante).

Entonces vemos que las similitudes entre los múltiples curvos y los efectos de la gravedad son demasiados para ignorarlos. Einstein asumió que el espacio-tiempo puede modelarse como una variedad curva y mostró que la gravedad era un resultado directo de la curvatura de esta variedad. El modelo matemático que se le ocurrió, la Relatividad general, fue capaz de explicar ciertas desviaciones observadas de la gravedad newtoniana (por ejemplo, el avance del perihelio de mercurio), así como predecir cosas nuevas que también se observaron más tarde (lentes gravitacionales de la luz, dilatación del tiempo gravitacional, ondas gravitacionales). Por lo tanto, la comunidad científica no tuvo más remedio que aceptar que el espacio-tiempo de hecho es modelado con precisión por una variedad curva.

¿Cuál es el significado de una métrica en una variedad?

En la geometría euclidiana, que es plana, el sistema de coordenadas más comúnmente utilizado son las coordenadas cartesianas. Aprendemos que la distancia entre dos puntos [matemática] (x_1, y_1, z_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2, z_2) [/ matemática] viene dada por -:

[matemáticas] s ^ 2 = (x_2 – x_1) ^ 2 + (y_2 – y_1) ^ 2 + (z_2 – z_1) ^ 2 [/ matemáticas]

(Esta es en realidad la distancia al cuadrado)

Este es en realidad el cuadrado de la magnitud del vector que apunta desde el punto 1 al punto 2.

[matemáticas] \ vec V_ {1 a 2} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1, z_2 – z_1) [/ matemáticas]

Y la distancia al cuadrado es el producto escalar de V consigo mismo:

[matemáticas] s ^ 2 = \ vec V. \ vec V = (x_2 – x_1) ^ 2 + (y_2 – y_1) ^ 2 + (z_2 – z_1) ^ 2 [/ matemática]

Sin embargo, en las coordenadas curvas, las longitudes de los vectores también dependen de dónde estén ubicados los vectores. Volviendo a nuestra superficie de la esfera, notará que la distancia entre dos longitudes es máxima en el ecuador y mínima en los polos donde está 0. Mientras tanto, disminuye progresivamente a medida que avanzamos desde el ecuador hasta los polos. aunque la diferencia absoluta entre las coordenadas sigue siendo la misma. Por ejemplo, considere la distancia entre dos conjuntos de puntos: (0,20) y (0,30) y (66,20) y (66,30). Aquí 0 y 66 son las latitudes y 20 y 30 son las longitudes. Aunque las [matemáticas] (x_2 – x_1) y (y_2 – y_1) [/ matemáticas] son ​​las mismas entre los 2 conjuntos de puntos, la distancia en el caso del segundo conjunto es mucho menor. (También tenga en cuenta que las coordenadas en la esfera no son realmente x e y similares a las coordenadas cartesianas, son ángulos, pero el punto sigue en pie)

Observe la longitud de los segmentos rojos a medida que avanzamos hacia el norte. Este es un ejemplo de desviación geodésica, así como la acción de una métrica variable.

Entonces, para modelar este punto, los productos se definen usando lo que se llama métrica.

[matemáticas] s ^ 2 = \ vec V. \ vec V = g _ {\ alpha \ beta} V ^ {\ alpha} V ^ {\ beta} = g_ {xx} (x_2 – x_1) ^ 2 + g_ {aa} (y_2 – y_1) ^ 2 + g_ { zz} (z_2 – z_1) ^ 2 + 2 * g_ {xy} (x_2 – x_1) (y_2 – y_1) + 2 * g_ {xz} (x_2 – x_1) (z_2 – z_1) + 2 * g_ {yz} (y_2 – y_1) (z_2 – z_1) [/ matemáticas]

Entonces la métrica [matemática] g _ {\ alpha} {\ beta} [/ matemática] que es una función de x, y, z define longitudes en una variedad. Y es simétrico, es decir, [math] g _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ beta \ alpha} [/ math]. Es por eso que los coeficientes de 2 vienen en términos de índice mixto del producto de punto anterior.

En espacio plano y coordenadas cartesianas [matemática] g _ {\ alpha \ beta} = 1 [/ matemática] si [matemática] \ alpha = \ beta [/ matemática] y 0 de lo contrario, devolviendo nuestra fórmula habitual para productos de punto .

Respuesta adicional, aunque la pregunta no lo hace. ¿De dónde viene la curvatura? La curvatura también proviene de la métrica, específicamente las segundas derivadas de la métrica. El Tensor de curvatura de Reimann que mencioné anteriormente es una combinación de varias segundas derivadas de la métrica. Y el teorema de la geometría diferencial que mencioné anteriormente acerca de la aproximación de un área pequeña de un distribuidor curvo como plano también se basa en la métrica. Dice que no importa cuán compleja sea la forma de la métrica (es decir, las diversas [matemáticas] g _ {\ alpha \ beta} s [/ matemáticas] pueden ser funciones de aspecto extremadamente peligrosas de x, y y z) siempre podemos encontrar un co -transformación ordenada de modo que podamos recuperar la métrica del espacio plano en las nuevas coordenadas y las primeras derivadas de la métrica también se puedan hacer 0. Por lo tanto, en un área pequeña parecería que el espacio es plano. Pero todas las segundas derivadas de la métrica no pueden establecerse en 0 con una transformación de coordenadas de este tipo si la variedad está realmente curvada y, por lo tanto, si experimenta en un volumen lo suficientemente grande (como el de nuestro gran hombre) no ser capaz de descuidar los efectos de la curvatura.

Si ha llegado hasta aquí y quiere aprender más o ya sabía lo que se describe en esta respuesta, lea la respuesta de Akshay Vijay, que es mucho más rigurosa y lo obligará a descubrir muchos más conceptos si tiene curiosidad.

No estoy necesariamente en desacuerdo con las otras respuestas, pero parecen un poco “post hoc”. En otras palabras, con el beneficio de 100 años de relatividad , claro, está claro por qué el espacio-tiempo es múltiple. Pero hay un componente histórico que creo que es muy importante para la respuesta. Proporcionaré eso:

Supongamos que estás dando vueltas a principios del siglo XX y acabas de darte cuenta de que la gravedad puede considerarse como algo relacionado con la geometría del universo. Digamos que eres un tipo inteligente pero no necesariamente reservado en la vasta literatura de las matemáticas actualizadas.

Entonces, cuando piensas en la geometría potencialmente curva de un universo 3D, lo primero que piensas es imaginar el universo 3D en un espacio euclidiano 4D o superior. (Resulta que 6D es suficiente, pero no lo sabes hasta la década de 1930). ¡Después de todo, quieres trabajar con las coordenadas! Y, de hecho, así es como siempre ha funcionado la geometría: no solo estudias círculos , estudias círculos que viven en planos. No solo estudias esferas, estudias esferas que viven en espacios euclidianos 3D.

Pero ahora tiene un par de problemas … o tal vez un par de variaciones del mismo problema. Hay más de una forma de incrustar un espacio dentro de otro. Entonces, ¿qué pasa si adoptas este enfoque y descubres un hecho interesante sobre el universo? ¿Puede estar seguro de que su hecho interesante es sobre el universo , o podría tener algo que ver con la forma totalmente arbitraria que eligió para representar el universo dentro de un espacio euclidiano más grande?

O tal vez una variación de lo mismo, si estamos hablando de todo el universo , ¿tiene sentido físico el espacio euclidiano más grande? Si el universo es, por definición, todo, ¿qué significa incluso ponerlo dentro de un espacio más grande? ¿Podría algo que “proviene” del espacio más grande, ya sea un sistema de coordenadas u otra cosa, ser un artefacto loco de nuestra propia fantasía, y no necesariamente algo físico?

Estos no son problemas insuperables, sin duda. De hecho, hace un par de generaciones Gauss se ocupó de lo mismo al definir la curvatura gaussiana. Originalmente lo definió en términos de incrustar un espacio en otro, pero demostró que la curvatura era realmente independiente de la incrustación. Probablemente esto sea bien conocido por usted. Después de todo, este teorema se conoce como “Theorema Egregium” de Gauss, o “teorema notable”. No sé si Gauss mismo acuñó esa frase, pero de todos modos es un gran elogio. En otras palabras, no es un resultado oscuro … al menos para los geómetras.

Entonces, al menos , querrás leer el teorema egregium de Gauss, al menos para familiarizarte con las técnicas para ayudar a determinar cuándo los conceptos geométricos dependen de las incrustaciones y cuándo no. En ese curso de investigación, probablemente te encontrarás con el trabajo de Riemann. Fue Riemann, el estudiante de Gauss, por supuesto, quien primero dio la definición moderna de múltiple, al extender el Theorema Egregium a dimensiones más altas.

(No puedo evitar comentar un poco de historia: como parte de completar el doctorado de Riemann, propuso tres conferencias que podría dar a la facultad de la Universidad de Gotinga: dos sobre electricidad y magnetismo, y una sobre geometría. de alguna manera impactante, Gauss le pidió a Riemann que diera la conferencia de geometría. Fue esa conferencia en la que Riemann expuso la definición moderna de múltiples y otros temas, como el tensor de curvatura. Gauss estaba tan impresionado que se dijo que había jadeado audiblemente en algún momento. punto, y comenzó a ensalzar las virtudes matemáticas de Riemann. ¡No está mal, impresionar a alguien como Gauss en ese grado!)

De todos modos, volviendo a fingir que eres Einstein. Lo natural es estudiar geometría en un sistema de coordenadas, te das cuenta de que tiene problemas, investigas cómo superar esos problemas y luego ves el trabajo de Riemann. ¡Las cosas de Riemann son perfectas ! En el momento en que pregunta acerca de la gravedad y la geometría, las cosas de Riemann se han desarrollado durante aproximadamente 50 años. ¡Ya está hecho ! Quizás sea un poco oscuro para usted, pero aprenderlo y hablar su idioma es mucho más fácil que desarrollarlo todo desde cero.

Entonces, ¿por qué se expresa GR en términos de múltiples? ¡No es solo que sean la herramienta adecuada para el trabajo, sino que incluso eran herramientas “listas para usar” cuando la gente comenzó a pensar en GR!

Una variedad ofrece la configuración más general donde podemos usar el cálculo. Trataré de proporcionar una explicación intuitiva de por qué es una forma muy natural de modelar el espacio-tiempo.

Considere la siguiente observación trivial. Cuando arrojas un objeto a través de la habitación, sigue un camino continuo. En otras palabras, no hay saltos en su trayectoria; no solo desaparece en un punto y reaparece en otro. Esta simple observación en realidad te dice mucho sobre cómo debes modelar el mundo físico (clásico).

Casi toda la física actual opera sobre bases teóricas establecidas, por lo que el primer paso para modelar el mundo físico es pensar en todos los puntos en el espacio y el tiempo como formando un conjunto. Este conjunto es lo que llamamos espacio-tiempo. Podemos etiquetar este conjunto como [math] M [/ math].

Ahora, ¿cómo definimos trayectorias en este contexto? Sencillo. Una trayectoria puede considerarse como un mapa [math] \ gamma: \ R \ longrightarrow M [/ math] que asigna en cada instancia en algún espacio de parámetros una posición en el espacio-tiempo. En la mecánica clásica pre-relativista, generalmente pensamos en [matemáticas] M [/ matemáticas] como el conjunto de todos los puntos en el espacio y el parámetro como solo tiempo. Entonces una trayectoria era una función [matemáticas] \ gamma (t) [/ matemáticas]. Pero en la relatividad, el tiempo ya no puede considerarse como un parámetro absoluto, es parte del espacio-tiempo.

Ahora esa fue la parte fácil. Nuestro objetivo ahora es introducir una noción de “continuidad de trayectorias” en nuestro modelo (basado en nuestras intuiciones de los caminos continuos que los objetos parecen tomar en el mundo real). Esta no es una tarea fácil. La continuidad es una propiedad geométrica, pero un conjunto no es un objeto geométrico, por lo que debemos transformar este conjunto en algo más geométrico donde podamos establecer una noción de continuidad. Esto se hace mediante la introducción de una topología sobre el espacio-tiempo.

Una topología en un conjunto le indica qué conjuntos de elementos del conjunto forman vecindades. Entonces te dice cómo los elementos de un conjunto están organizados de manera abstracta. La continuidad de un mapa [math] \ phi: A \ longrightarrow B [/ math] entre 2 espacios topológicos puede considerarse aproximadamente como la propiedad de llevar vecindarios de [math] A [/ math] a vecindarios de [math] B [/matemáticas]. Esta es una generalización de la definición de continuidad en los espacios euclidianos de la forma [matemática] \ R ^ {d} [/ matemática] de la que puede haber aprendido como estudiante universitario.

Entonces, necesitamos transformar el espacio-tiempo en un espacio topológico para poder hablar sobre la continuidad de las trayectorias. Vale la pena mencionar que en realidad nadie sabe cuál es esta topología de espacio-tiempo, solo afirmamos que existe. La única información concreta que conocemos sobre el espacio-tiempo proviene de las ecuaciones de Einstein, que son ecuaciones locales. Pero la topología es una característica global del espacio-tiempo.

Ahora, si fuera más perceptivo, también se daría cuenta de que los objetos clásicos no cambian abruptamente su dirección de movimiento. Una forma más elegante de decir esto es que las velocidades de los objetos no cambian abruptamente. Esta es otra condición que debemos establecer en nuestro modelo. Pero para hablar de velocidades, necesitamos establecer una noción de diferenciabilidad de trayectorias. Esto se hace equipando el espacio-tiempo con una estructura múltiple.

Una variedad es un espacio topológico donde todos los vecindarios (especificados por la topología) se ven como un subconjunto de [math] \ R ^ {d} [/ math]. Ahora puede establecer una noción de diferenciabilidad (localmente) utilizando la diferenciabilidad en [math] \ R ^ {d} [/ math]. Esto le permite hablar sobre trayectorias diferenciables que eventualmente le permitirán definir velocidades. Ahora, en física clásica, solo nos interesan las trayectorias suaves (infinitamente diferenciables), por lo que solo consideramos múltiples suaves.

Es por eso que modelamos el espacio-tiempo como un múltiple, es la configuración más general donde se puede hablar sobre trayectorias suaves, que es una característica central de todos los sistemas mecánicos.

Y en cuanto a su segunda pregunta sobre la métrica, la respuesta no es del todo. Si se limita a la relatividad especial, entonces puede pensar que el tensor métrico le da una métrica sobre el espacio-tiempo, pero cuando el espacio-tiempo es curvo, este punto de vista no funciona. El tensor métrico realmente le proporciona una métrica en el paquete tangente, que es el conjunto de todas las velocidades posibles en todos los puntos. Por lo tanto, en realidad es una forma de calcular las velocidades a partir de las velocidades.

Si [math] X_1 [/ math] es la velocidad de una partícula en un punto particular del múltiple. Luego definimos [math] \ sqrt {g (X_1, X_1)} [/ math] como la velocidad de la partícula. La distancia recorrida se define entonces como la integral de esta velocidad sobre el espacio de parámetros. Supongamos que etiquetamos el parámetro por [math] \ lambda [/ math], luego –

[matemáticas] d [/ matemáticas] [matemáticas] = \ int \ sqrt {g (X_1, X_1)} d \ lambda [/ matemáticas].

Esta es generalmente una integral muy difícil de resolver porque el tensor métrico está cambiando en cada punto.

Si se limita al espacio-tiempo plano (relatividad especial), entonces es un resultado estándar mostrar que el espacio-tiempo en sí mismo es isomorfo al espacio tangente en el origen. Entonces puede heredar una métrica en el espacio-tiempo de la métrica en el espacio tangente en el origen.

Pero en el espacio-tiempo curvo, este argumento se rompe. El tensor métrico realmente le da una métrica en el espacio tangente en cada punto de la variedad.

No soy un experto en relatividad general, pero lo intentaré. La primera persona que tuvo la idea de pensar en el espacio y el tiempo como una variedad de espacio-tiempo de cuatro dimensiones fue Minkowski. Permitió que la relatividad especial se hiciera de manera un poco diferente pero más efectiva.

Estás 100% en lo correcto al decir que las distancias están relacionadas con la métrica. La ecuación general para la distancia es [matemática] Δ [/ matemática] [matemática] s ^ 2 = [/ matemática] [matemática] g_ {mn} Δx ^ mΔx ^ n [/ matemática] (con una suma implícita sobre [matemática] m [/ math] y [math] n [/ math]). Es importante recordar que [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] no son exponentes, sino solo índices que muestran cuántas dimensiones hay. [math] g_ {mn} [/ math] es la métrica de la variedad. Para el espacio tridimensional normal (es decir, plano), la métrica obtiene su propio símbolo, [math] δ_ {mn} [/ math], y está dada por la matriz

[matemática] δ_ {mn} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math].

Esto significa que [matemática] m [/ matemática] solo puede ser igual a [matemática] n [/ matemática] para que obtenga la fórmula de distancia regular: [matemática] Δs ^ 2 = (Δx ^ 1) ^ 2 + (Δx ^ 2) ^ 2 + (Δx ^ 3) ^ 2 [/ math] donde los índices 1, 2 y 3 corresponden a x, y y z. Sin embargo, si tuviera que agregar curvatura al mundo tridimensional (al igual que la superficie de dos dimensiones de un balón de fútbol está curvada porque no puede hacerse plana sin distorsionar partes del mismo), la métrica ya no sería solo 1s en diagonal. Tomaría una forma más complicada, lo que significa que la fórmula de la distancia no sería la familiar de la escuela secundaria.

En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el argumento es esencialmente el mismo. La métrica plana espacio-tiempo es la métrica de Minkowski. Sin embargo, cuando la gravedad entra en escena, en la relatividad general, la métrica se vuelve más complicada debido a la curvatura del espacio-tiempo. La métrica más simple con curvatura en la relatividad general es la métrica de Schwarzschild.

El espacio-tiempo debe modelarse con coordenadas curvilíneas, pero eso es mucho trabajo. Para la mayoría de las aplicaciones, trabajamos con una región lo suficientemente pequeña como para que un sistema de coordenadas plano (euclidiano) sea una aproximación suficientemente buena. Esa es la definición de una variedad. Entonces se puede aplicar la relatividad especial en lugar de la relatividad general más difícil.

Tienes razón, una métrica es esencialmente una fórmula de distancia invariante.