¿Por qué la pendiente de aceleración debida al gráfico de gravedad vs. altura primero es recta y luego curva?

¿Por qué la pendiente de aceleración debida al gráfico de gravedad vs. altura primero es recta y luego curva?

No es

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Para que una curva sea ‘recta’ en cualquier lugar:} \\ y & = mx + c \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = m \\\ frac {\ mathrm {d} ^ 2 y} {\ mathrm {d} x ^ 2} & = 0 \ tag1 \\ \ text {Pero para} a_g: \\ a_g & = k \ cdot \ frac {1} {r ^ 2} \\ \ frac {\ mathrm {d} a_g} {\ mathrm {d} r} & = -2k \ cdot \ frac {1} {r ^ 3} \\\ frac {\ mathrm {d} ^ 2 a_g} {\ mathrm {d} r ^ 2} & = -6k \ cdot \ frac {1} {r ^ 4} \ tag2 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ text {donde:} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = G \ cdot M [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ text {distancia entre los centros de las masas} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {Since} \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 a_g} {\ mathrm {d} r ^ 2} \ ne 0 \: \ forall r, \ text {where} k, r \ en \ mathbb {R} _ {> 0}, [/ math]

La curva de aceleración debida a la gravedad newtoniana frente a la altura no es “recta” en ninguna parte.

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Gracias por el A2A.

¡Hola!

Supongo que estás hablando de este gráfico.

Debajo de la superficie de la Tierra, hay una masa menos efectiva que en realidad está tirando. Más específicamente, a una profundidad d (distancia Rd desde el centro), la capa de masa que se extiende desde Rd hasta R no contribuye a ninguna fuerza que actúe sobre usted. Esto se ilustra en una forma matemática muy corta y dulce llamada Ley de Gauss. En pocas palabras, si estuviera dentro de un planeta hipotético en forma de una concha hueca de radio interno y externo Rd y R respectivamente, no tendría peso. Si, sin peso. La fuerza neta es cero. ¿Por qué? Causa Física (y matemáticas).

Entonces, la fuerza con la que un objeto atrae a otro viene dada por

[matemática] F = \ dfrac {GM_1m_2} {R ^ 2} = m_2g [/ matemática] igual que escribir, [matemática] g = \ dfrac {GM} {R ^ 2} [/ matemática].

Entonces, a distancia del centro, la masa debajo de nosotros se puede encontrar por; [matemáticas] \ dfrac {M} {V} = \ dfrac {M_1} {V_1} [/ matemáticas]; donde M corresponde a la masa total y M1 a la masa de la tierra debajo (dentro de la esfera de radio Rr) nosotros. Esto nos da [math] M_1 = \ dfrac {Mr ^ 3} {R ^ 3} [/ math].

Sustituyendo esto en la fórmula habitual, obtenemos [math] a = \ dfrac {GMr ^ 3} {R ^ 2 r ^ 2} [/ math] también lo mismo que [math] a = \ dfrac {gr} {R} [/ math] implica [math] g \ propto r [/ math] (para [math] r \ leq R [/ math]).

Ahora que sabemos cómo la aceleración debida a la gravedad varía con la profundidad (ten en cuenta que r es la distancia desde el centro de la tierra, no la superficie), lo que nos da la primera parte de la trama.

Para la segunda parte, es simple;
[matemáticas] g = \ dfrac {GM} {R ^ 2} [/ matemáticas]. Al trazar esto para ([math] r> R [/ math]) nos da la parte curva, ya que [math] g \ propto r ^ {- 2} [/ math], la segunda parte es curva.

Fuentes: Wikipedia, Google Images.