La velocidad de escape se define como la velocidad a la cual la energía cinética (positiva) de un objeto equilibra la energía potencial gravitacional (negativa).
Tu energía cinética es
[matemáticas] K = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]
Donde [math] m [/ math] es tu masa y [math] v [/ math] es tu velocidad. Tenga en cuenta que no depende del ángulo de su velocidad, solo de su tamaño , es decir, el valor absoluto [math] v \ equiv | \ mathbf {v} | [/ math] de su vector de velocidad [math] \ mathbf {v} [/ matemáticas].
Su energía potencial gravitacional es
[matemáticas] U = – \ frac {GmM} {r} [/ matemáticas]
donde [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional, [matemática] M [/ matemática] es la masa del planeta y [matemática] r [/ matemática] es su distancia desde el centro de gravedad del planeta. Tenga en cuenta que tampoco depende del ángulo de proyección.
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La velocidad de escape es el valor de [math] v [/ math] para el cual [math] K + U = 0 [/ math], que es
[matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} [/ matemáticas]
Como se calcula usando [matemáticas] K [/ matemáticas] y [matemáticas] U [/ matemáticas], que no dependen del ángulo de proyección, tampoco depende del ángulo.
Lo que el requisito [matemática] K + U = 0 [/ matemática] significa, físicamente, es que derivamos la velocidad de escape usando la suposición de que eventualmente toda la energía cinética se ha gastado escapando del campo gravitacional .
Digamos que estás a una distancia [matemática] r [/ matemática] del centro de gravedad del planeta, y comienzas a moverte en cualquier dirección lejos del planeta con la velocidad de escape [matemática] v [/ matemática] dada anteriormente. Luego, a medida que gasta energía para superar la gravedad, su velocidad eventualmente iría a cero , y en ese punto el campo gravitacional también iría a cero. Entonces has “escapado” con éxito de la gravedad del planeta. Ahora estás inmóvil pero fuera del campo gravitacional del planeta.
Si comienzas a moverte verticalmente (es decir, perpendicular a la superficie del planeta), entonces probablemente escaparás de la gravedad del planeta en menos tiempo que si comenzaras a moverte en un ángulo más bajo, pero la velocidad de escape seguiría siendo la misma. (Por supuesto, suponemos que el planeta no tiene atmósfera, por lo que no hay fricción con el aire que pueda ralentizarlo).
