La pregunta tiene un año de retraso, y espero que le haya ido bien en el curso. Estoy escribiendo esta respuesta si todavía está dispuesto a aprender más sobre el método HJ. Es bastante fácil sentirse abrumado por la teoría HJ.
Omita esta parte si solo quiere ver las matemáticas.
Ecuación de Hamilton-Jacobi:
- ¿Cómo se calcula la fuerza resistiva?
- ¿Cómo sería nuestra experiencia en la Tierra si nuestro planeta fuera expulsado del sistema solar por la gravedad de una masa próxima en tránsito?
- ¿Cuál es la diferencia entre la gravedad que me empuja hacia la tierra y las ondas gravitacionales detectadas por LIGO?
- ¿La antimateria también tiene la propiedad de la gravedad? Si es así, ¿atrae materia o antimateria hacia sí mismo?
- ¿Se han realizado experimentos en gravedad cero para recrear la gravedad?
[matemática] \ frac {\ parcial S} {\ parcial t} = -H [/ matemática]
Esto viene de pensar en una transformación canónica [matemáticas] (p, q) \ rightarrow (P, Q) [/ matemáticas]. Dicha transformación convierte a Hamiltonian [math] H (q, p, t) [/ math] en [math] K (Q, P, t) [/ math]. Esta transformación preserva las relaciones canónicas. Significa
Esto es cierto (antes de la transformación),
[matemáticas] \ dot {q} = \ frac {\ partial H} {\ partial p}, \ dot {p} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q} [/ math]
mientras que esto también es cierto (después de la transformación).
[matemáticas] \ dot {Q} = \ frac {\ partial K} {\ partial P}, \ dot {P} = – \ frac {\ partial K} {\ partial Q} [/ math]
La relación entre [matemáticas] H (q, p, t) [/ matemáticas] y [matemáticas] K (Q, P, t) [/ matemáticas] es [matemáticas] K (Q, P, t) = H (q , p, t) + \ frac {\ partial S} {\ partial t} [/ math]. Aquí, [math] S [/ math] es una función generadora que es una herramienta matemática conveniente que conecta lo antiguo y lo nuevo hamiltoniano. Existen 4 tipos de función generadora: [matemática] S (q, Q, t), S (q, P, t), S (p, Q, t) [/ matemática] y [matemática] S (p , P, t) [/ matemáticas]. Los tipos no son importantes para la esencia de la discusión. Así que escojamos el primer tipo [matemática] S (q, Q, t) [/ matemática].
Ahora, recuerde [math] p = \ frac {\ partial S} {\ partial q} [/ math]. Que conveniente. Esto es en parte por qué presentamos la función de generación. Entonces [matemáticas] K (Q, P, t) = H (q, p, t) + \ frac {\ partial S} {\ partial t} [/ math] se convierte en …
[matemática] K (Q, P, t) = H (q, \ frac {\ parcial S} {\ parcial q}, t) + \ frac {\ parcial S} {\ parcial t} [/ parcial]
El punto sorprendente es … si encontramos una transformación canónica tal que [matemática] K (Q, P, t) = 0 [/ matemática], entonces la ecuación se vuelve integrable, lo que significa que podemos encontrar la función [matemática] S (q, Q, t) [/ matemáticas]. Recuerda. Si conocemos [matemáticas] S (q, Q, t) [/ matemáticas], podemos encontrar [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] P [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] q, Q, [ / math] y [math] t [/ math]. Considerando que [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] son solo constantes si [matemática] K = 0 [/ matemática], podemos expresar [matemática] p [/ matemática] en términos de [ matemática] q, [/ matemática] [matemática] t [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] (constante). ¡Podemos resolver el movimiento! Es por eso que esta ecuación es tan especial y se ganó el nombre de “ecuación de Hamilton-Jacobi”.
El hamiltoniano de su sistema es: [matemática] H = \ frac {p ^ 2} {2m} + mgq [/ matemática].
Esto es independiente del tiempo. Una técnica estándar es la separación de variables. Suponga que [matemática] S (q, Q, t) = W (q, Q) + T (t) [/ matemática].
El HJ eq. se convierte en [matemáticas] \ frac {dT} {dt} = -H (q, \ frac {\ partial W} {\ partial q}). [/ math]
En el lado izquierdo, es una derivada con respecto a [math] t [/ math], mientras que en el lado derecho, es una función de [math] q [/ math] y [math] \ frac {\ partial W} {\ partial q} [/ math]. Deben ser iguales a una constante. Por una razón obvia, establezca esta constante [math] -E [/ math]. Sí, la energía se conserva si Hamiltonian es independiente del tiempo.
[matemáticas] H (q, \ frac {\ parcial W} {\ parcial q}) = E [/ matemáticas]
[matemática] \ frac {1} {2m} (\ frac {\ parcial W} {\ parcial q}) ^ 2 + mgq = E [/ matemática]
Esta es una ecuación diferencial parcial sobre W! Sí, es integrable. La solucion es…
[matemáticas] W = \ int \ {2m (E-mgq) \} ^ \ frac {1} {2} dq [/ matemáticas]
No es necesario evaluarlo porque queremos [matemáticas] q [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas] después de todo.
[matemáticas] p = \ frac {\ partial W} {\ partial q} = \ {2m (E-mgq) \} ^ \ frac {1} {2} [/ math]
Después de todo, no es tan malo. La parte difícil radica en pensar esto detenidamente. Si desea [matemática] q [/ matemática], [matemática] p [/ matemática] en función de [matemática] t [/ matemática], necesita condiciones iniciales. Solo necesita la última ecuación para dibujar una curva en el espacio de fase.
Resuelva [matemáticas] p = \ frac {mdq} {dt} = \ {2m (E-mgq) \} ^ \ frac {1} {2} [/ matemáticas] si desea encontrar [matemáticas] q (t) [/matemáticas].
