La relación entre el tiempo [matemático] (\ tau [/ matemático]) medido por un observador en reposo en un marco, y el tiempo ([matemático] t [/ matemático]) medido por un observador que mide ese marco en movimiento la velocidad [matemática] v = \ beta c [/ matemática] es simple:
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ tau} = \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ beta ^ 2}} [/ matemáticas]
Esto se deriva simplemente del hecho de que el intervalo espacio-tiempo es una cantidad invariable en relatividad especial:
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Para el observador externo:
[matemáticas] ds ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 – d \ vec {x} ^ 2 [/ matemáticas]
Pero para el observador en reposo, no observa ningún cambio de posición (ya que está parado en el punto que se está midiendo), por lo que su intervalo es simplemente:
[matemáticas] ds ^ 2 = c ^ 2 d \ tau ^ 2 – 0 = c ^ 2 d \ tau ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, utilizamos el hecho de que todos los observadores están de acuerdo en lo que es [matemática] ds ^ 2 [/ matemática] para equipararlos:
[matemáticas] c ^ 2 d \ tau ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 – d \ vec {x} ^ 2 [/ matemáticas]
Luego dividimos por [math] dt [/ math] (este es un poco descarado de matemáticas, técnicamente deberías hacer esto antes de llevar el límite a infinitesimales)
[matemáticas] c ^ 2 \ left (\ frac {d \ tau} {dt} \ right) ^ 2 = c ^ 2 – \ left (\ frac {d \ vec {x}} {dt} \ right) ^ 2 [/matemáticas]
Por definición, [math] \ vec {v} = \ frac {d \ vec {x}} {dt} [/ math], por lo tanto [math] \ left (\ frac {d \ vec {x}} {dt} \ right) ^ 2 [/ math] se convierte en [math] v ^ 2 = \ beta ^ 2 c ^ 2 [/ math] según mi definición anterior.
Por lo tanto, si dividimos entre [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas], y usamos esta definición:
[matemática] \ left (\ frac {d \ tau} {dt} \ right) ^ 2 = 1 – \ beta ^ 2 [/ math]
[matemáticas] \ frac {d \ tau} {dt} = \ sqrt {1- \ beta ^ 2} [/ matemáticas]
Y por lo tanto, finalmente:
[matemáticas] \ boxed {\ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}}} [/ math]
Voila!
Ahora, en este punto, simplemente debemos tener en cuenta que el 99,99% de la velocidad de la luz corresponde a [matemáticas] \ beta = 0.9999 [/ matemáticas], que conectamos en la ecuación anterior, para obtener:
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {1} {\ sqrt {1-0.9999 ^ 2}} \ aprox 70.7 [/ matemáticas]
Esto significa que por cada segundo que pasa para el observador en reposo, un observador que lo observa moverse al 99.99%, la velocidad de la luz mide ~ 71 segundos.
Entonces el tiempo “corre lentamente” por un factor de 70.
