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Su velocidad a través del espacio-tiempo se llama su velocidad 4 (4 porque tiene 1 componente de tiempo y los tres componentes del espacio) y generalmente se le da el símbolo de una u mayúscula: [matemáticas] U [/ matemáticas].
Es posible que haya oído hablar del factor Lorentz si ha leído sobre la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud: [matemáticas] γ = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} }[/matemáticas]. Para velocidades mucho menores que [matemática] c [/ matemática], [matemática] γ \ aprox 1 [/ matemática] y recupera la mecánica clásica normal.
- Si no podemos viajar a la velocidad de la luz, ¿podemos viajar a una velocidad solo un poco menor que la velocidad de la luz?
- Si la gravedad más fuerte es más dilatación del tiempo, ¿dónde podemos envejecer lentamente?
- Si tuviera que crear dos agujeros de gusano, uno encima de mí y otro debajo de mí, y si saltara dentro de él, ¿sería posible que alcanzara la velocidad de la luz?
- ¿Hay algo que pueda viajar más rápido que la velocidad de la luz en el universo?
- ¿Qué pasa si demostramos que la masa no aumenta mientras la velocidad se acerca a C?
La longitud al cuadrado de un vector se encuentra mediante la fórmula de la distancia o el Teorema de Pitágoras (son lo mismo):
[matemática] longitud ^ 2 = a ^ b + b ^ 2 +… [/ matemática] para tantos términos como las dimensiones que tenga. (Para un triángulo 2D tiene [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] pero para una distancia en tres dimensiones tienes [math] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 [/ math])
El 4-vector [math] U [/ math] puede representarse como una matriz:
[matemáticas] U = γ (c, v_x, v_y, v_z) [/ matemáticas].
Entonces pensaría que la longitud de [matemáticas] U [/ matemáticas], [matemáticas] U ^ 2 [/ matemáticas], estaría dada por
[matemática] U ^ 2 = γ ^ 2 \ grande (c ^ 2 + v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 \ grande) [/ matemática]
debido a la fórmula de la distancia.
* Sin embargo, dado que el tiempo y el espacio no son exactamente lo mismo (y por otras razones matemáticas que son un poco demasiado detalladas aquí), la [matemática] c ^ 2 [/ matemática] debe ser [matemática] -c ^ 2 [/ matemáticas]. Esto solo separa el tiempo del espacio, por lo que no es nada extraño.
[matemáticas] U ^ 2 = γ ^ 2 \ big (-c ^ 2 + v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 \ big) [/ math]
Usando el Teorema de Pitágoras, la velocidad total es [matemática] v_ {tot} ^ 2 = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 [/ matemática].
[matemática] U ^ 2 = γ ^ 2 \ grande (-c ^ 2 + v_ {tot} ^ 2 \ grande) [/ matemática]
Recuerde ahora que [math] γ = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v_ {tot} ^ 2} {c ^ 2}}} [/ math].
El [math] v_ {tot} [/ math] está en el factor Lorentz porque todo lo que le importa al factor Lorentz es su velocidad total; ¡No podría importarle menos tu dirección!
Conectando esto tienes
[matemáticas] U ^ 2 = \ dfrac {1} {1- \ frac {v_ {tot} ^ 2} {c ^ 2}} \ big (-c ^ 2 + v_ {tot} ^ 2 \ big) [/ matemáticas].
Ahora puede multiplicar también y el fondo por [matemática] c ^ 2 [/ matemática]:
[matemáticas] U ^ 2 = \ dfrac {1} {c ^ 2-v_ {tot} ^ 2} \ big (-c ^ 2 + v_ {tot} ^ 2 \ big) c ^ 2 [/ math].
Por último, puede extraer un signo negativo en la parte superior (o inferior) y cancelar …
[matemáticas] U ^ 2 = – \ dfrac {1} {c ^ 2-v_ {tot} ^ 2} \ big (c ^ 2-v_ {tot} ^ 2 \ big) c ^ 2 = -c ^ 2 [ /matemáticas].
[matemática] \ daga [/ matemática] ¡La longitud al cuadrado de la velocidad 4 es solo [matemática] -c ^ 2 [/ matemática] y no tiene dependencia del tiempo o la velocidad!
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* Algunos autores pueden poner el signo menos junto a la parte espacial de la velocidad y dejar el tiempo positivo. En este caso, obtendría que [math] U ^ 2 = c ^ 2 [/ math] en lugar de [math] -c ^ 2 [/ math].
[matemática] \ daga [/ matemática] La velocidad de 4 puede cambiar de dirección, por lo que puede haber una aceleración de 4 distinta de cero, pero la longitud del vector de 4 velocidades siempre será constante.
