La derivada covariante de indicador es más fácil de entender dentro de la electrodinámica, que es una teoría de indicador U (1).
Cuando aplicamos una transformación de indicador U (1) a un campo cargado, cambiamos su fase, en una cantidad proporcional a [math] e \ theta (x ^ \ mu) [/ math], que puede variar de un punto a otro. tiempo espacial. Al mismo tiempo, los cambios de cuatro potenciales electromagnéticos en una cantidad proporcional a [matemática] \ parcial_ \ mu \ theta [/ matemática].
Se puede ver que la transformación del indicador cambia la derivada del campo en una cantidad proporcional a [matemática], es decir, \ parcial_ \ mu \ theta [/ matemática]. (Obtenemos esto al aplicar la regla de la cadena al exponencial complejo, nada complicado aquí.) Notarás que esto es [matemático], es decir, [/ matemático] multiplicado por el cambio en el cuatro potencial electromagnético.
- ¿Hay alguna forma de explicarle a un niño de 8 años de qué se trata la teoría de la relatividad de Einstein?
- ¿Es la no linealidad de la relatividad gravitacional lo que impide su cuantización?
- ¿Ver videos de Leonard Susskind es suficiente para entender la relatividad general?
- ¿Por qué los relojes funcionan en sentido horario?
- ¿Es aplicable la teoría general de la relatividad a nivel subatómico?
Se supone que una transformación de indicador no cambia las cantidades observables, por lo que las cantidades observables no deberían depender directamente de la derivada del campo. En su lugar, postulamos que debemos reemplazar las derivadas parciales con la derivada covariante de calibre,
[matemáticas] D_ \ mu: = \ partial_ \ mu – es decir, A_ \ mu [/ matemáticas]
Ahora, cada vez que realicemos una transformación de indicador, el cambio en la derivada parcial será cancelado por el cambio en el campo de indicador [matemático] A_ \ mu [/ matemático], y la derivada covariante del indicador no cambiará.
Entonces, la explicación intuitiva de la derivada covariante de indicador es que es una forma de modificar el operador de derivada para que el resultado no cambie cuando se realiza una transformación de indicador. Esto es esencial ya que se supone que una transformación de indicador deja el sistema en el mismo estado que antes, solo que con una configuración diferente de grados de libertad no observables.
Aquí hay otra explicación, bastante diferente: el lagrangiano para un campo contiene la derivada del campo, por ejemplo, el lagrangiano de Klein-Gordon para una partícula libre es
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ frac {1} {2} \ partial_ \ mu \ phi ^ * \ partial ^ \ mu \ phi – \ frac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ * \ phi [/matemáticas]
El término derivado es el término “cinético”, y corresponde al propagador; describe cómo se mueve la partícula en el espacio libre. El operador derivado es el generador de traducción; se construye una traducción finita al combinar sucesivamente traducciones infinitesimales. Cuando reemplazamos la derivada parcial por la derivada covariante de calibre, el efecto es introducir un cambio de fase infinitesimal proporcional a [math] A_ \ mu [/ math] que acompaña a cada traducción infinitesimal. Como resultado, una traducción finita se acompaña de un cambio de fase proporcional a [math] \ int A_ \ mu dx ^ \ mu [/ math]. Este hecho será familiar para aquellos que han estudiado, por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm. Entonces, la derivada covariante de calibre puede entenderse como lo que necesitamos poner en el Lagrangiano para que esto suceda. (Supongo que esto pone el carro delante del caballo, pero al final, en lo que respecta a la construcción de la “intuición”, ayuda tener la mayor cantidad de enlaces posibles en tu mente). Pero, si entiendes esto, probablemente ya entiendo la derivada covariante del medidor, por lo que tal vez esto no sea tan útil.
