Sí, absolutamente, y en absoluto por coincidencia.
La Relatividad general se ocupa del caso de un espacio-tiempo curvo: el objeto matemático que nos interesa se llama métrica del espacio-tiempo [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] y se rige por las ecuaciones de campo de Einstein.
[math] g [/ math] puede tomar todo tipo de formas excéntricas: una de las métricas más simples es la métrica de Schwarzschild, que describe sistemas como nuestro sistema solar (más o menos):
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ left (\ begin {matrix} – \ left (1 – \ frac {2 GM} {c ^ 2 r} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {1 – \ frac {2GM} {c ^ 2 r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 ( \ theta) \ end {matrix} \ right) [/ math]
Con esto puedes predecir muchas cosas geniales, y definitivamente está en el ámbito de GR: ¡gravedad en todo el lugar!
Pero, ¿qué sucede si dejamos que [matemáticas] M = 0 [/ matemáticas]?
Si la masa es lo que curva el espacio-tiempo, seguramente deberíamos terminar con un espacio-tiempo plano, es decir, ¡deberíamos terminar con una relatividad especial!
¡Vamos a intentarlo!
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ left (\ begin {matrix} – \ left (1 – 0 \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {1 – 0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) \ end {matrix} \ right) [/ math]
[matemática] g _ {\ mu \ nu} = \ left (\ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) \ end {matrix} \ right) [/ math]
Huh Eso se parece mucho a la métrica de Minkowski en coordenadas polares … hagamos una transformación en coordenadas cartesianas solo para estar seguro …
[matemática] g _ {\ mu \ nu} = \ left (\ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 y 1 \ fin {matriz} \ derecha) [/ matemáticas]
Bueno, ¿podrías mirar eso?
¡La métrica de la relatividad especial de Minkowski!
De esta métrica se derivan las transformaciones de Lorentz, y toda la relatividad especial fluye de esta métrica.
Si tomas una ecuación GR y pones la masa a cero … ¡qué sabes! ¡Recuperas la relatividad especial!
Por lo tanto, sí, por diseño, toda la relatividad especial está encapsulada dentro de la relatividad general general.
De hecho, esto es cierto hasta el punto de que si tiene una ecuación en Relatividad especial, los únicos cambios que necesita para convertirla en una ecuación GR son las siguientes sustituciones:
- [math] \ partial_ \ mu \ mapsto \ nabla_ \ mu [/ math], la derivada covariante
- [matemáticas] \ eta _ {\ mu \ nu} \ mapsto g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], cambie a un espacio-tiempo curvo
Entonces, en SR, el Tensor de Faraday viene dado por:
[matemáticas] F _ {\ mu \ nu} = \ partial_ \ mu A_ \ nu – \ partial_ \ nu A_ \ mu [/ math]
En GR?
[matemáticas] F _ {\ mu \ nu} = \ nabla_ \ mu A_ \ nu – \ nabla_ \ nu A_ \ mu [/ matemáticas]
En SR, el tensor de tensión para un fluido perfecto viene dado por:
[matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} = (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2}) U ^ \ mu U ^ \ nu – P \ eta _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
En GR?
[matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} = (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2}) U ^ \ mu U ^ \ nu – P g _ {\ mu \ nu} [/ math]
¡Mecánicamente , esto es fácil como el pastel! Sin embargo, si realmente quieres hacer matemáticas con él … ¡GR es al menos un 600% más asqueroso!
Eso no quiere decir que cuando conoces GR, inherentemente sabes SR – SR a menudo se usa para abordar diferentes problemas (y puedes usarlo para resolver problemas matemáticamente más difíciles, ¡ya que SR es más fácil de trabajar!) – un error cometí esto año, cuando olvidé revisar mi examen de SR, ¡porque pensé que revisar GR era lo mismo!
