Lo primero que necesita para que esta pregunta tenga sentido es una definición de dimensión . Una noción conveniente y de uso común es la dimensión de Hausdorff. La definición puede ser demasiado técnica y más allá del nivel en el que parece estar preguntando, pero aquí está de todos modos: la dimensión de Hausdorff de un espacio métrico (o digamos, un subconjunto de Rn [matemáticas] Rn [/ matemáticas] para algunos n [ matemática] n [/ matemática]) es la más pequeña posible d> 0 [matemática] d> 0 [/ matemática] de modo que su conjunto pueda cubrirse con bolas de radio r1, r2,… [matemática] r1, r2,… [ / math], donde la suma ∑irdi [math] ∑irid [/ math] es finita. (En realidad, en lugar de “lo más pequeño posible”, es el infimum, en el caso de que no haya el más pequeño d [math] d [/ math]).
Según esta definición, resulta que un punto tiene la dimensión 0 de Hausdorff [matemática] 0 [/ matemática] y una línea tiene la dimensión 1 de Hausdorff [matemática] 1 [/ matemática]. ¿Cómo es esto posible? Bueno, en su pregunta, parece estar asumiendo algún principio como
La unión de cualquier colección de conjuntos de dimensión d [matemática] d [/ matemática] debe tener dimensión d [matemática] d [/ matemática].
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Suponiendo que “dimension” = “dimensión de Hausdorff”, esto es cierto para una unión finita . Incluso es cierto para una unión infinitamente contable. Pero una línea se compone de innumerables puntos, y en el caso de una colección incontable, el principio anterior es simplemente falso.
