“ El campo gravitacional solo tiene una existencia relativa … Porque para un observador que cae libremente desde el techo de una casa, al menos en su entorno inmediato, no existe un campo gravitacional. “(Einstein)
Si no hay curvatura del espacio-tiempo para las cosas que caen, ¿por qué los objetos chocan contra la tierra?
El campo gravitacional es una cantidad diferente de la curvatura espacio-tiempo. La curvatura es una propiedad inherente del espacio-tiempo, que afecta a todos los observadores de la misma manera. El campo gravitacional, sin embargo, solo tiene una existencia relativa. Puede existir para algunos observadores pero no para otros.
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Para comprender la naturaleza del campo gravitacional en la relatividad general, necesitamos comenzar con una discusión sobre el tratamiento de las fuerzas de inercia en la mecánica newtoniana. Una fuerza de inercia es una fuerza que parece actuar sobre todos los cuerpos en proporción a su masa. En la mecánica newtoniana, hay dos tipos de fuerzas de inercia:
- La fuerza gravitacional, que obedece la ley de gravitación universal de Newton, según la cual es proporcional a la masa del cuerpo de prueba.
- Las fuerzas ficticias, que son un artefacto de realizar observaciones desde un marco de referencia no inercial. Debido a que es “en realidad” el marco que está acelerando, no los objetos dentro de él, el observador en el marco tiene que observar el mismo exceso de aceleración para todos los objetos en el marco, independientemente de su masa. La fuerza ficticia debe ser proporcional a la masa para dar una aceleración constante (al igual que la fuerza gravitacional).
Por lo tanto, las fuerzas de inercia en la mecánica newtoniana pueden describirse en dos cantidades. Existe el vector de campo gravitacional [matemáticas] g [/ matemáticas], que satisface la ley de Gauss para la gravedad. También hay un campo ficticio de “aceleración excesiva” [matemática] a_f [/ matemática] que se puede calcular utilizando el conocimiento de la relación entre su marco de referencia y un marco de referencia inercial. La fuerza neta sobre un objeto es entonces
[matemática] F _ {\ mathrm {net}} = F _ {\ mathrm {otro}} + mg + ma_f + mA_f v [/ math]
donde [math] F _ {\ mathrm {other}} [/ math] contiene las fuerzas electromagnéticas, fuerzas de tensión, fuerzas de fricción, etc., y los campos vectoriales [math] g, a_f [/ math] se evalúan en posición del cuerpo, y [math] A_f [/ math] es un campo matricial. (Sí, hay fuerzas ficticias dependientes de la velocidad, como la fuerza de Coriolis).
Tenga en cuenta que el observador solo puede determinar la combinación [matemática] g + a_f [/ matemática] en su ubicación, pero no puede determinar [matemática] g [/ matemática] y [matemática] a_f [/ matemática] individualmente a menos que tenga alguna forma de determinar (tal vez mediante el uso de un telescopio) si realmente hay un cuerpo masivo cerca o no. La mecánica por sí sola no proporciona una forma de saber qué cantidad de sus fuerzas de inercia contribuyen con la gravitación, si es que hay alguna.
Así, por ejemplo, un observador “flotando” en el espacio profundo, lejos de todas las influencias gravitacionales, no observa ninguna fuerza de inercia neta y, en términos newtonianos, explica este hecho al decir que ninguna fuerza de inercia actúa sobre ellos. gravitación, sin fuerzas ficticias. Pero un observador que cae libremente en el hueco de un elevador en la Tierra, y que tampoco siente fuerza de inercia neta, imagina que están actuando sobre dos fuerzas de inercia equilibradas debido al campo gravitacional [matemático] g [/ matemático] que apunta hacia abajo y tiene la magnitud de 9.8 metros por segundo al cuadrado, y la aceleración ficticia que es igual y opuesta.
Einstein apareció y señaló que, dado que las leyes de la física parecen ser las mismas para ambos observadores, el resultado de los experimentos locales, aparentemente libres de la influencia de las fuerzas inerciales, convenciéndolos a ambos de que están en un marco inercial, Es posible unificar la descripción de las fuerzas de inercia, en otras palabras, introducir un marco que trate las fuerzas gravitacionales de la misma manera que las fuerzas ficticias.
Él describe esta unificación en sus propias palabras, así [fuente]:
¿Pueden la gravitación y la inercia ser idénticas? Esta pregunta lleva directamente a la teoría general de la relatividad. ¿No es posible para mí considerar que la Tierra está libre de rotación, si concibo la fuerza centrífuga, que actúa sobre todos los cuerpos en reposo relativamente a la Tierra, como un campo gravitacional “real” de gravitación, o parte de tal un campo? Si esta idea puede llevarse a cabo, habremos demostrado con toda verdad la identidad de la gravitación y la inercia. La misma propiedad que se considera inercia desde el punto de vista de un sistema que no forma parte de la rotación puede interpretarse como gravitación cuando se considera con respecto a un sistema que comparte esta rotación. Según Newton, esta interpretación es imposible, porque en la teoría de Newton no existe un campo “real” del tipo “campo de Coriolis”. ¿Pero tal vez la ley de campo de Newton podría ser reemplazada por otra que se ajuste al campo que se mantiene con respecto a un sistema de coordenadas “rotativas”? Mi convicción de la identidad de la masa inercial y gravitacional despertó en mí el sentimiento de absoluta confianza en la corrección de esta interpretación “.
En efecto, en la relatividad general no existen campos separados [math] g [/ math] y [math] a_f [/ math]. Solo existe el campo gravitacional, que es una descripción de todas las fuerzas de inercia, aquellas debidas a la atracción hacia otras masas y las debidas a la elección del marco de referencia.
En la mecánica newtoniana, todos los observadores están de acuerdo en si un campo gravitacional está presente en alguna región, pero los observadores no inerciales también verán fuerzas ficticias, mientras que los observadores inerciales no ven ninguno. Por lo tanto, la fuerza de inercia neta depende del observador. En la relatividad general, la fuerza de inercia neta es el campo gravitacional, por lo que el campo gravitacional depende del observador. El observador en el ascensor que cae libremente insiste en que no hay campo gravitacional; el observador parado en el suelo mirando caer el ascensor insiste en que hay uno. Ambos son correctos; Como dice Einstein, el campo gravitacional solo tiene una existencia relativa.
(Por cierto, si hubiéramos medido la curvatura de la luz por el Sol antes de que se formulara la relatividad general, en lugar de al revés, habríamos descubierto que las fuerzas gravitacionales también dependen de la velocidad. Esto es importante por lo que estoy haciendo para decir a continuación.)
Imagina que estábamos haciendo esta unificación en un universo plano donde la velocidad de la luz es infinita (el universo de la mecánica newtoniana). Luego escribiríamos
[math] F _ {\ mathrm {net}} = F _ {\ mathrm {other}} + ma_t + mA_t v [/ math]
donde [math] a_t [/ math] representa la aceleración inercial total independiente de la velocidad y es igual a [math] g + a_f [/ math] de la formulación newtoniana. El término [math] A_t [/ math] es similar.
Entonces, este par de campos [matemática] (a_t, A_t) [/ matemática] puede considerarse como el equivalente newtoniano a lo que llamamos el campo gravitacional en la relatividad general. Para un observador que cae libremente y no gira, desaparece.
El símbolo para el campo gravitacional en la relatividad general es [math] \ Gamma [/ math]. Tiene 64 componentes, llamados símbolos de Christoffel, pero solo 40 de ellos son independientes. Aunque los símbolos de Christoffel son más complicados que los [math] a_t [/ math] y [math] A_t [/ math] de los que hablé anteriormente, la idea básica es muy similar. Los símbolos de Christoffel codifican todas las fuerzas de inercia en un punto dado: la parte independiente de la velocidad, la parte lineal en velocidad y la parte cuadrática en velocidad. Se desvanecen para el observador que cae libremente y no gira. Pero no se desvanecen por alguien parado en la Tierra o alguien en una nave espacial acelerada. Esas personas descubrirán que los movimientos de las partículas pueden describirse en términos de símbolos de Christoffel distintos de cero, un campo gravitacional distinto de cero.
Ahora pasamos a la curvatura. He pasado todo este tiempo argumentando que la gravedad y las fuerzas ficticias no se pueden distinguir. Pero como sabemos por la relatividad general, los objetos masivos causan una curvatura espacio-tiempo, que es responsable de la gravitación. En contraste, el observador en la nave espacial acelerada en el espacio profundo no es víctima de la curvatura. Parece que hay una contradicción aquí, pero no la hay. La clave para comprender la curvatura es recordar que no se puede saber si algo está curvado cuando se puede observar solo un punto. A medida que se acerca a cualquier superficie curva lo suficiente, finalmente aparece plana. Tienes que mirar el panorama general. El campo gravitacional experimentado por un observador en una nave espacial acelerada en el espacio profundo es “plano”, donde al hacer experimentos en diferentes partes de la nave espacial, el observador puede darse cuenta de que las partículas en la nave espacial realmente no están siendo atraídas o repelido desde cualquier lugar; solo siguen lo que parecerían líneas rectas en un marco de referencia diferente. Sin embargo, el campo gravitacional experimentado por un observador sentado en la Tierra es “curvo”. Aunque en un solo punto todo lo que ven es un campo gravitacional, y no pueden decir si están bajo la influencia de un cuerpo masivo o no, al caminar un poco pueden darse cuenta de que la fuerza de inercia que están experimentando está dirigida hacia el centro de la Tierra y obedece a una ley del cuadrado inverso, que es la marca de un campo gravitacional “verdadero”.
Esto se hace preciso por la ecuación de desviación geodésica, que contiene el factor [matemática] R [/ matemática], el tensor de curvatura de Riemann, que representa la curvatura. (Tiene 256 componentes, pero solo 20 de ellos son independientes). La idea es que en una región verdaderamente curva del espacio-tiempo, dos partículas inicialmente cercanas, que caen libremente con la misma velocidad, se moverán de manera diferente; uno acelerará hacia o lejos del otro, o la orientación de su desplazamiento relativo rotará. Por ejemplo, dejar caer dos bolas cerca de la Tierra, una inicialmente más baja que la otra, hará que la inferior se aleje gradualmente de la superior, ya que, al estar más cerca de la Tierra, experimenta una fuerza gravitacional ligeramente más fuerte; esto revela la existencia de curvatura, mientras que el observador en la nave espacial acelerada no observa ninguna desviación de este tipo. Para otro ejemplo, dos galaxias que inicialmente están estacionarias una con respecto a la otra se separarán, y dos galaxias que ya se están separando verán su deriva acelerarse. Esto nos dice que el universo tiene una curvatura a gran escala.
Aunque diferentes observadores pueden no estar de acuerdo sobre si las fuerzas de inercia están actuando en algún momento, deben estar de acuerdo sobre si se produce una desviación geodésica a medida que un par dado de partículas viaja a lo largo de sus líneas mundiales en el espacio-tiempo. La desviación geodésica es causada por la curvatura espacio-tiempo, que es una propiedad inherente de la variedad espacio-tiempo, al igual que la forma en que una silla está realmente curvada, sin importar el sistema de coordenadas que le impongas.
Ahora hemos visto cómo la declaración de Einstein es perfectamente comprensible en su contexto. Es un contexto que debe enseñarse a todos los estudiantes de relatividad general, pero no lo es, por alguna razón. Los autores más nuevos pueden sentirse incómodos al identificar el campo gravitacional con [math] \ Gamma [/ math], porque este último no es un tensor. Sin embargo, es una lástima, porque la unificación de fuerzas ficticias con el campo gravitacional es uno de los conceptos centrales de la relatividad general, como lo dijo Einstein.
