Físicamente hablando, ¿qué induce la aleatoriedad de las tiradas de dados y las probabilidades iguales de cada lado del dado?

Físicamente hablando, hay dos cosas que dan lugar a la aleatoriedad y la igualdad de probabilidades de los dados.

1. La simetría (simetría rotacional) del dado
2. La distribución de las condiciones iniciales es muy amplia y suave en comparación con las diferencias de resultados.

El sistema físico de un dado es newtoniano y determinista. En otras palabras, si elige una combinación exactamente idéntica de parámetros de lanzamiento relevantes (por ejemplo, altura sobre la mesa, orientación del dado, ángulo de lanzamiento, velocidad, momento angular del dado, resistencia al aire, etc.) obtendrá exactamente el mismo resultado cada vez. Esto hace que un lanzamiento de dados sea predecible en principio. (E incluso, hasta cierto punto, en la práctica: créanlo o no, las personas realmente han trabajado la dinámica con cierto detalle: la dinámica tridimensional del lanzamiento de la matriz).

Para tener una idea de esto, dibujemos esto en un espacio de resultados ligeramente extraño, donde he colapsado todos estos parámetros de lanzamiento iniciales en un eje (esto es lo que obtendría si mantuviera todos los parámetros iniciales iguales excepto uno). la altura sobre la mesa).

Debido a la simetría rotacional del dado, también obtenemos resultados simétricos a medida que varían los parámetros, por lo que todos estos cuadros son del mismo tamaño. Esto es importante. Porque había hecho la geometría del dado un poco diferente: diga así:

… entonces mi espacio de resultados tampoco sería simétrico en absoluto: se vería más así.

Entonces, sigamos con un dado simétrico y recurramos a su simetría rotacional para dar un buen espacio de resultado uniforme.

Pero aunque tenemos simetría, todavía no tenemos la aleatoriedad especificada. Si yo fuera un superhumano, podría elegir que los parámetros iniciales sean los mismos en cada lanzamiento, y así obtener un 3 (digamos) cada vez. Ciertamente, esto ni siquiera es probable. Para garantizar eso, debemos analizar qué tipo de incertidumbre tengo sobre estos parámetros iniciales.

Y aquí es donde entra mi juicio humano. Porque la incertidumbre viene de mí: de la acción de mis dedos que da lugar a diferencias en todos estos parámetros, en el impulso del dado, en la altura sobre la mesa en la que se libera, en su rotación inicial, momento angular. *

No es bueno si esta incertidumbre es de una escala comparable a los diferentes resultados. Por ejemplo, si la incertidumbre en los parámetros se ve así:

Esto es ligeramente incierto, pero no muy, y ciertamente ni siquiera. Tengo suficiente control en el (los) parámetro (s) inicial (es), lanzo mi dado a un tres la mayor parte del tiempo, con una pequeña posibilidad de obtener un 2 o un 4. Esto podría suceder en el caso en que el dado fuera realmente grande y sólido: un bloque de madera que estaba “tirando” empujándolo con un poco de esfuerzo. Pídeme que “arroje” uno de estos dados, y podrías obtener algo así.

(Imagen: BLITZ)

Entonces esto no es bueno. Lo que queremos es cierta incertidumbre que sea absolutamente masiva en comparación con la escala de los resultados. Algo como esto (me estoy alejando un poco en este diagrama; si entrecierra los ojos con cuidado, puede ver las pequeñas cajas para cada resultado).

Ahora aquí, la escala en la que no estamos seguros del parámetro inicial es muy grande en comparación con la escala en la que el parámetro hace una diferencia en el resultado. La probabilidad de cada resultado se da como la integral sobre la distribución de las condiciones iniciales que dan lugar a ese resultado. Es fácil ver ** que cuando tienes un objeto simétrico como un dado cúbico que da lugar a un espacio de resultado uniforme, siempre que la incertidumbre sea lo suficientemente grande en comparación con los diferentes resultados, esta integral saldrá igual para cada uno Salir.

Y estamos donde queremos estar. Debido a la incertidumbre en los parámetros iniciales, tenemos un proceso aleatorio, con iguales probabilidades para cada resultado.

[*] Aquí estoy siendo agnóstico acerca de qué tipo de cuenta de probabilidad estamos usando y, por lo tanto, qué tipo de distribución es esta. Un bayesiano diría que ignoramos cuáles son los parámetros iniciales y, por lo tanto, la distribución es en realidad grados de creencia. Un frecuentista diría que el proceso es tal que a largo plazo los parámetros iniciales se distribuirían de esta manera. Para nuestros propósitos, podemos usar cualquiera.

[**] Como es tradicional: “fácil de ver” se puede traducir como “esto es plausible, pero muestra las condiciones precisas necesarias y, desde luego, proporciona cualquier tipo de prueba como ejercicio para el lector”

Hablando estrictamente, una tirada de dados no es aleatoria en absoluto. Es completamente determinista y se rige por las leyes de la física clásica. Por lo tanto, en principio es posible predecir el resultado de un lanzamiento si se conocen todas las propiedades del sistema. En la práctica, simplemente hay demasiadas propiedades que influyen en el resultado para ser prácticamente computables. Cuando no sabemos todo acerca de un sistema y nos falta la precisión necesaria para la replicación perfecta de un resultado, podemos buscar propiedades estadísticas. Estadísticamente, se puede demostrar que un dado ponderado adecuadamente no preferirá ningún lado en particular, por lo tanto, se aproximará a un proceso verdaderamente aleatorio.

Un lanzamiento de dados es solo un ejemplo de un sistema determinista clásico que exhibe un comportamiento aparentemente aleatorio. Todos los campos de la termodinámica y la mecánica estadística son otros ejemplos en los que el determinismo clásico no es observable debido a la abrumadora complejidad y la falta de información completa sobre el sistema.

Creo que el único evento verdaderamente aleatorio (al menos irreductiblemente aleatorio) se debe al colapso de la función de onda en la Mecánica Cuántica. Esta es una de las razones por las que la mecánica cuántica no convenció a Einstein. Sin embargo, la naturaleza verdaderamente aleatoria de la mecánica cuántica se está comercializando incluso para hacer números verdaderamente aleatorios para claves de cifrado.

La simetría física que causa la igualdad de probabilidades se llama ‘El principio de indiferencia’. La indiferencia es la propiedad de un conjunto específico de coordenadas de fase que hace que todos los puntos en el espacio de fase sean igualmente probables.

El principio de indiferencia ‘(PIND?) Es una suposición oculta en mecánica estadística y mecánica cuántica. Generalmente cuando se da una prueba formal, esta propiedad se hipotetiza sin mención explícita. Creo que las personas que escriben libros de texto deberían mencionarlo explícitamente con más frecuencia. PIND es una propiedad importante específica de un sistema físico y las coordenadas que le dan.

Hay textos matemáticos donde se proporciona una definición formal de indiferencia. Lo leí primero en un artículo de ‘Física hoy’ sobre enredo cuántico, del cual ya no tengo una copia. Sin embargo, PIND es igualmente válido en física clásica, mecánica estadística y la termodinámica resultante. No conozco un enlace que proporcione una explicación completa.

Creo que sería mejor introducir PIND desde mi memoria imperfecta, ya que tal vez mi tropiezo sea educativo. Así que aquí hay una descripción pedante pero sincera de cómo recuerdo el Principio de Indiferencia (PIND).

Tiendo a dar explicaciones pedantes, así que por favor sea paciente. Según tengo entendido y generalmente uso PIND:

El principio de indiferencia establece que la probabilidad de un estado de equilibrio es invariable a las mismas transformaciones que las leyes de fuerza que gobiernan el sistema físico.

Un sistema puede caracterizarse en un momento dado como un punto en el espacio de fase, un sistema de coordenadas que incluye tanto una posición generalizada como un momento generalizado.

Las leyes de fuerza generalizadas tienen que ser invariables por una simetría de grupo que está implícita en las coordenadas del espacio de fase. Según el teorema de Noether, la simetría de grupo puede caracterizarse por las leyes de conservación, así como por la invariancia de

Por ejemplo, el número de puntos en el lado de la cara apuntando hacia arriba puede ser un valor en una coordenada del espacio de fase. El dado puede ser simétrico en el sentido de que la densidad de masa del dado es invariante a la rotación alrededor de los tres ejes que pasan por el centro del cubo y los lados. Si se rueda sobre una mesa, la simetría cúbica significa que la energía potencial de cualquier número de puntos en el lado hacia arriba es igual cuando el dado finalmente se detiene.

Una de las propiedades importantes de un sistema es si puede detenerse. No existe una ley intrínseca de que todo sistema físico DEBE llegar al equilibrio. La tendencia de un sistema a llegar al equilibrio está incrustada en las Leyes de la termodinámica. Curiosamente, la inevitabilidad del estado de equilibrio no es la implicidad en la dinámica clásica o la mecánica cuántica pura.

Sin embargo, las leyes de la termodinámica parecen garantizar que los sistemas físicos realmente descansen.

Por ejemplo, ese dado después de ser arrojado terminará su camino en un estado de equilibrio con uno de los números apuntando hacia arriba.

La ruta del sistema en el espacio de fase está determinada por las condiciones iniciales. La velocidad, la orientación y el momento angular con el que empiezo a tirar el dado son condiciones iniciales. Entonces, el estado final hipotéticamente varía con las condiciones iniciales.

La probabilidad no es calculable a partir de una elección de condiciones iniciales. La probabilidad tiene que calcularse a partir de promedios ponderados de todas las condiciones iniciales posibles. Entonces, cada conjunto de condiciones iniciales tiene un punto de equilibrio diferente. Sin embargo, el sistema tiene que satisfacer todas las condiciones de simetría y las leyes de conservación durante el movimiento del punto en el espacio de fase.

Se supone que todo lo demás, excepto las condiciones de simetría y las leyes de conservación, es impredecible. Tenga en cuenta que esta tampoco es una propiedad inevitable. Sin embargo, a menudo es cierto si no es cierto para todos los sistemas físicos conocidos. Entonces, la densidad de probabilidad de cualquier punto en el espacio de fase debe satisfacer las mismas leyes de simetría que las leyes de fuerza que gobiernan el movimiento del sistema.

El principio de indiferencia establece que la probabilidad de que el sistema termine en cualquier estado de equilibrio en el espacio de fase es invariable a la simetría de grupo del sistema. En otras palabras, todos los puntos de equilibrio en un espacio de fase con coordenadas elegidas apropiadamente tienen que ser igualmente probables.

La distribución de masa de una matriz bastante ponderada es simétrica a las rotaciones cúbicas. entonces, por el principio de indiferencia, todos los lados tienen la misma probabilidad de mirar hacia arriba cuando el dado alcanza un equilibrio.

Si la probabilidad no fuera la misma para los seis lados, entonces la probabilidad satisfaría una simetría diferente a las leyes de fuerza.

Otra forma de verlo es que la energía potencial del estado final del dado es la misma sin importar qué cara se señale. Entonces, según el principio de indiferencia, la probabilidad del estado final del dado es la misma, sin importar el estado señalado.

Lamento ser tan pedante. ¡Deben ser mis Aspergers! -)

Ahora, otro físico afirmará que PIND es lo mismo que la propiedad de la ergodicidad. Yo diría que la ergodicidad es un caso especial de PIND. ¡Sin embargo, no quiero abrir esa lata de gusanos en el Foro del Quórum! -)

Créeme, esto es una misericordia!

Un dado tiene seis lados con 6 números diferentes, es (se supone que es) un cubo perfecto con el centro de masa directamente en el centro del cubo.

Debido a esto, no importa la orientación, la curva de masa estará en la misma ubicación relativa, lo que significa que la gravedad no afecta el resultado, la aleatoriedad proviene de algunos otros factores

la orientación inicial de los dados en tu mano

la altura a la que dejaste ir

la velocidad que le das a los dados

la cantidad de giro inducido en los dados

y la forma en que impacta la mesa

es imposible controlar cada uno de estos factores que controlan el resultado del dado, por lo tanto, se vuelve aleatorio

¿Y si los dados no fueran al azar? Algunas personas han practicado lanzar dados para vencer ciertos juegos de casino.

Pero si un proceso es lo suficientemente complejo, como para que apenas se detecten cambios en la entrada, por ejemplo, cómo se realiza un lanzamiento y cómo cae el dado, entonces la mayoría de las personas no podrán predecir o controlar los resultados del proceso. Eso es lo suficientemente bueno como para parecer aleatorio, incluso si no lo fuera.

En cuanto a las probabilidades iguales, eso es básicamente el resultado de la simetría. Si todos los lados son iguales y los que tiran el dado no favorecen a ningún lado cuando lo sostienen, ¿por qué sería más probable algún lado?

Hmm … tal vez los estados de energía más bajos. La naturaleza ama los estados de energía más bajos. Si lanzas un dado sobre una superficie plana, sin duda se apoyará en una de sus caras. ¿Por qué no una ventaja? Porque un dado apoyado en uno de sus bordes está en un llamado equilibrio inestable. Normalmente es muy difícil hacer que los objetos entren incluso en un estado de equilibrio inestable, y mucho menos permanecer allí durante un período de tiempo sin ayuda. Esto significa que un dado rodante casi siempre descansará sobre una cara, lo que representa el estado de energía más bajo del sistema de mesa de dados. La probabilidad de detenerse en un borde sería astronómicamente pequeña. Si el dado está correctamente equilibrado, cada cara tiene la misma probabilidad de estar en la cima. Si el dado no está equilibrado adecuadamente, cada cara tiene una probabilidad de estar en la parte superior que depende de la ponderación específica de los dados.

Los factores más importantes son: el giro preciso impartido en el troquel, la orientación inicial del troquel, la velocidad del troquel, la distancia desde el punto de liberación a la superficie, el material de la superficie, la pendiente de la superficie, la irregularidad de la superficie, las corrientes de aire en la habitación y el material del troquel. Todos estos factores influyen en el dado y es su promedio estadístico el que da al dado las mismas probabilidades. Algunos de estos factores juegan un papel más importante que otros, dependiendo de cómo se lance el dado.

La aleatoriedad del evento del lanzamiento de dados es un efecto del universo mismo. Se podría decir que de una manera fundamental, el lanzamiento de dados no podría haber mostrado un resultado diferente. Y eso lo hace no aleatorio.