En la teoría cuántica, ¿por qué se encuentran las probabilidades al sumar el cuadrado de la magnitud de las amplitudes de probabilidad en lugar de las amplitudes mismas?

En mecánica clásica, la energía de una onda es proporcional a la amplitud al cuadrado. En general, la amplitud depende de la posición y el tiempo. Entonces, en general, la intensidad depende tanto de la posición como del tiempo.

En QM, las partículas también son ondas (ondas de materia). Entonces, para describir partículas, uno necesita usar el concepto de función de onda. Sin embargo, la función de onda era una herramienta bastante intuitiva, ya que aparentemente daba resultados bastante extraños, como “dispersar electrones”, lo que obviamente estaba en contra de las nociones comunes.

El físico Max Born desarrolló la interpretación probabilística de la función de onda, correspondiente al enfoque de la mecánica clásica, según el cual, el cuadrado de la amplitud de la función de onda nos da la densidad de probabilidad (correspondiente a la intensidad en la teoría clásica) de encontrar una partícula en un lugar y hora dados. La probabilidad total de encontrar la partícula (que tiene que ser la unidad) se determina integrando la función de densidad de probabilidad con un elemento de volumen en todo el espacio. Matemáticamente, [matemáticas] \ int | \ psi | ^ {2} dV = 1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que, SOLO la función de onda al cuadrado tiene un significado físico. Aunque la función de onda se llama amplitud de probabilidad, no tiene ningún significado físico en absoluto.

Consideremos una situación simple, dos alternativas cuánticas igualmente ponderadas, A y B. Si sus amplitudes de probabilidad son igualmente ponderadas, entonces [matemática] ψ = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (ψ_A + ψ_B) [/ matemática] y, por simetría, son igualmente probables.

Los problemas comienzan cuando las amplitudes de probabilidad no son las mismas, y tratamos de expresarlas como términos con los mismos coeficientes: por ejemplo, [matemáticas] ψ = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (ψ_A + 2ψ_B) = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (ψ_A + ψ_B + ψ_B) [/ math]. Mirando la expresión final, podríamos suponer que el resultado B es dos veces más probable que A. Pero ya no existe el principio de simetría al que apelar, ya que tenemos tres estados que no son todos ortonormales. Lo que encontramos, empíricamente, es la regla de Born, a saber, que las probabilidades de los diversos resultados son proporcionales al cuadrado de sus respectivas amplitudes. Esto puede derivarse expresando el resultado B como un resultado degenerado.

[matemáticas] 2ψ_B = ψ_ {B1} + ψ_ {B2} + ψ_ {B3} + ψ_ {B4} [/ matemáticas].

Los diferentes valores de la etiqueta B son diferentes, tal vez degenerados, resultados que no se pueden distinguir debido a las limitaciones de nuestro dispositivo de medición y, por lo tanto, todos aparecen como el mismo resultado, B. El número de estados en el lado derecho tiene que ser igual al cuadrado de el coeficiente en el lado izquierdo, según las reglas de los espacios de Hilbert; esto se sigue por el requisito de que la norma de ambos lados debe ser idéntica (= 2, en este ejemplo). Ahora podemos volver a nuestro problema anterior y escribir:

[matemáticas] ψ = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (ψ_A + 2ψ_B) = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (ψ_A + ψ_ {B1} + ψ_ {B2} + ψ_ { B3} + ψ_ {B4}) [/ matemáticas]

Por lo tanto, podemos apelar a la simetría nuevamente, ya que todos los estados en el lado derecho ahora son ortonormales, y esperamos que las probabilidades respectivas sean proporcionales al número de estados ortonormales o mundos Everett. Como hay 4 mundos con el resultado B y uno con A, entonces B es 4 veces más probable que A, que es como predice la regla de Born.

Entonces, la respuesta corta es que la regla de Born se deriva de contar el número relativo de estados ortonormales o mundos de Everett.

Uno realmente no podría responder “por qué”, ya que este era un postulado dado por nacido.

Entonces, la pregunta más relevante habría sido ¿por qué el postulado nacido funciona? La respuesta sería, usando este postulado, uno puede obtener resultados comprobables experimentalmente y si estos resultados se verifican, podemos decir que todo lo que hemos asumido es cierto.

También podría haber preguntado cuál fue la motivación nacida detrás del postulado y algunas personas (con o sin darse cuenta de lo mismo) realmente han abordado la pregunta posterior.

Permítanme agregar un poco a la excelente respuesta de Chetn.

  • Las amplitudes de las funciones de onda cuántica son números complejos.
  • Las probabilidades de estar en un estado cuántico es igual a la amplitud multiplicada por el complejo conjugado de amplitud, que es real.

Compartiré un pequeño secreto contigo. ¡Es una regla no escrita entre los científicos en estos días no compartir esto fuera del gremio! ¡Pero soy un matemático humilde por capacitación, por lo que no puedo ser expulsado de la comunidad científica ya que nunca pertenecí realmente!

Listo? ¡La ciencia nunca responde “por qué”! ¡Simplemente patea “por qué” en el camino!

¿No me crees?

Mirad

¿Por qué hay gravedad?

¿Por la ley de Newton que dices?

¿Porque las ondas de gravedad son detectadas por Ligo?

¿Porque podemos predecir las mareas de la orbitología lunar?

Por favor, diga: ¿exactamente cuándo se respondió el por qué?


Una nota personal: indiqué anteriormente que “¿por qué?” Es en última instancia una pregunta religiosa. No es una pregunta de ciencia. Al igual que el Dr. Muller, yo mismo estoy convencido de que sí tenemos un Creador que nos creó y todo lo que vemos y nos imbuye de propósito y dignidad. Pero no creo que esta sea una pregunta de física para probar o refutar con la medición matemática y el empirismo.

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