¿Por qué la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado es proporcional al cuadrado de la magnitud de la función de onda de la partícula? ¿No debería ser proporcional al valor absoluto (es decir, la magnitud) de la función de onda?

Algunas noticias alentadoras: Max Born originalmente pensó esto cuando propuso su regla homónima en 1926. Mire la propuesta subrayada en el cuerpo principal del documento, y luego su corrección en la nota al pie.

Afortunadamente, la nota al pie se insertó a tiempo. Su propuesta correcta de la amplitud al cuadrado ganó un Premio Nobel. Hay más sobre esta historia en las respuestas a esta pregunta.


Aquí hay una manera simple e intuitiva de motivar la propuesta (correcta, actualizada), a través del concepto de intensidad.

Digamos que tenemos un haz de partículas idénticas que vienen de algún lado y golpean un detector. En mecánica cuántica, podemos ver este rayo como una onda o como un montón de partículas. ¿Qué cantidad debe dar la intensidad del haz en cada caso?

Visto como partículas , está bastante claro que cualquier cantidad digna del nombre de la intensidad tiene que ser proporcional al número de partículas que golpean su detector en un momento dado.

Ahora considere la imagen de onda de este haz de partículas. Regrese a la física de la escuela secundaria y recuerde cómo se define la intensidad de una onda. Si no puede recordar, aquí hay un libro de texto en línea para recordarle Física escolar.

(Si desea derivar esto en el caso clásico, intente el análisis dimensional, recordando que la intensidad se da en vatios por metro cuadrado).

OKAY. Entonces tenemos la misma cantidad: intensidad, definida como proporcional al cuadrado de la amplitud de una onda incidente en el detector en una vista, y como proporcional al número de partículas incidentes en el detector en la otra vista.

Póngalos iguales entre sí (después de todo, se supone que son dos vistas de la misma cosa), e inmediatamente obtiene que el recuento de partículas en alguna región espacial debe ser proporcional al cuadrado de la función de onda.

Entonces, si está buscando una cantidad basada en la función de onda para la probabilidad de encontrar una partícula en un área espacial, este simple razonamiento sugiere que debería mirar el cuadrado de la amplitud, no la amplitud.


Ahora, lo anterior no es una prueba, es una motivación. Para empezar, ¿por qué no sostener que una onda cuántica se comporta de manera diferente a la clásica? Afortunadamente, e incluso dejando de lado los resultados experimentales, hay muchas pruebas que van mucho más allá.

El teorema de Gleason (una prueba notoria por su complejidad) es el resultado más fuerte: muestra que el único objeto que aparece en la mecánica cuántica que satisface los axiomas de probabilidad de Kolmogorov es la amplitud al cuadrado. Realmente no hay perspectiva de que sea solo la amplitud.