¿PUEDES BAJAR UN DÍA CON MOMENTUM ANGULAR?
¿Podrías hacer esto? ¿Podría un humano girando ralentizar la Tierra? Teóricamente sí.
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Se trata de un momento angular ——————————-
En un curso introductorio de física, hay tres grandes ideas. Existe el principio de energía de trabajo, el principio de momento y luego el principio de momento angular. Me saltearé el principio de energía de trabajo ya que no importa demasiado aquí. Es posible que esté familiarizado con el principio de impulso. Básicamente, dice que la fuerza neta sobre un objeto cambia su impulso. Puedo escribirlo así:
Sí, esta no siempre es la expresión del impulso, pero es un buen punto de partida. ¿Qué pasa con el principio de momento angular? Básicamente dice que existe una propiedad de los objetos llamada momento angular. Puede cambiar este momento angular aplicando un par. Para este problema de la Tierra que gira, no tenemos que preocuparnos por el par (sin par neto), así que solo diré que es como una fuerza de rotación. Ahora puedo escribir el principio de momento angular:
τ es el par, pero ¿qué pasa con el subíndice “o”? Cuando hablamos de rotaciones tenemos que tener algún punto sobre el cual calculamos el par y el momento angular. Me refiero a este punto como “o”. L es el momento angular y ω es la velocidad angular. El I se llama el momento de inercia, pero prefiero llamarlo “masa rotacional”. Esta es una propiedad de un objeto que hace la conexión entre el momento angular y la velocidad angular al igual que la masa hace para el momento lineal. Ahora, hay un pequeño punto aquí. En la expresión anterior, I es un valor escalar. Esto solo es cierto si el objeto gira sobre un eje fijo. Esto no será cierto con la Tierra, pero lo usaré de todos modos. Solo confía en mi.
Ahora de vuelta al momento lineal. Supongamos que estoy viajando en un vagón de tren libre de fricción que se mueve a una velocidad constante (sin motor). ¿Qué pasaría si corriera hacia la parte delantera del automóvil mientras se mueve? Dado que no hay fuerzas externas netas en el sistema (coche más yo), tendrá un impulso total constante. A medida que corro hacia atrás, tendré un impulso en la dirección hacia adelante. La única forma de que el impulso total permanezca constante es que el automóvil disminuya un poco la velocidad.
Lo mismo es cierto con el momento angular.
Ejemplo de momento angular ————————
Aquí hay una demostración rápida que hice para mostrar esta conservación del momento angular.
No es la mejor demostración, pero la armé bastante rápido. Veamos cómo funciona esto. En el primer ejemplo, la plataforma y el disco son estacionarios. Esto significa que el momento angular total es cero. Como no hay pares en el sistema, el momento angular total debe permanecer cero. Puedo representar esto con un dibujo, pero hay algo que debes saber primero. Representamos el momento angular como un vector (ya lo dije). Este vector es paralelo al eje de rotación. Si deja que los dedos de su mano derecha se curven en la dirección de rotación, entonces su pulgar apuntará en la dirección del momento angular.
Después de que el disco pequeño comienza a girar, la plataforma grande debe girar en la dirección opuesta de modo que los dos vectores de momento angular sumen cero (vector).
Cuando apago el disco pequeño, se ralentiza. Esta disminución en el momento angular del disco pequeño debería disminuir el momento angular de la rueda grande. Lo contrario también es cierto. Si la rueda grande comienza a girar y se enciende el disco pequeño, puede ralentizar la rotación de la cosa grande.
Pero espera. ¿Qué sucede si giro el disco pequeño 90 grados (como hice en el video)? En este caso, el disco aumenta en momento angular. Sin embargo, la gran plataforma no gira. ¿Por qué? El par es la respuesta. Aquí hay un dibujo del disco en la segunda orientación.
Si pudiera, la plataforma rotaría en la dirección opuesta. Pero no puede. El piso empuja contra la plataforma y ejerce un par para contrarrestar el cambio en el momento angular. Pero, ¿y si el pequeño disco estuviera en algún ángulo? En este caso, solo importaría la componente vectorial del momento angular en la dirección vertical.
Retrasando un día ——————
Ahora para la pregunta xkcd. ¿Podría frenar un día? Si. ¿Cuánto cuesta? Esa es la parte divertida. Si una persona aumenta en el momento angular, la Tierra también debe cambiar en el momento angular de tal manera que la suma de la Tierra más el momento angular de la persona sea constante.
Permítanme comenzar con algunas suposiciones. Primero, la tierra. Voy a aproximar la Tierra como una esfera de densidad sólida y uniforme. Segundo, fingiré que la Tierra está en un eje fijo y no oscilante (que no lo es). Oh, la velocidad angular de la Tierra es de aproximadamente (1/24) revoluciones por hora. Supongo que también puedo ignorar el momento angular de la Tierra a medida que se mueve alrededor del Sol. Sí, hay muchas suposiciones aquí. Puedo calcular el momento de inercia de una esfera sólida giratoria como:
¿Pero qué hay de la persona que gira? Digamos que la persona es un cilindro, ¿por qué no? ¿Qué tal este cilindro persona tiene una masa de 70 kg y un radio de 0.15 metros (que probablemente es demasiado alto, pero es solo una estimación). Ahora, ¿qué tan rápido puede girar esta persona? Según este video, un patinador sobre hielo puede girar hasta 400 rpm (41,9 radianes / segundo).
Hay una última cosa a considerar. ¿Dónde diablos está esta persona girando? Si están en el ecuador (y de pie), el giro no tendrá efecto en la duración del día. Técnicamente, hará algo: cambiará el eje de rotación ya que la Tierra es un sistema de par cero, pero solo estoy considerando la duración del día, así que lo ignoraré. Solo el componente del momento angular de la persona que gira en la misma dirección que el momento angular de la Tierra es importante. Si la persona está en Nueva Orleans, la latitud es de unos 30 grados. Si llamo al eje de rotación de la Tierra eje Z, entonces puedo escribir:
Donde θ es el ángulo de latitud. Ahora puedo escribir el momento angular de la Tierra más la persona como (solo el componente z):
Como no hay torque, el momento angular de la Tierra antes del giro es igual al nuevo momento angular de la Tierra más el momento angular de la persona.
Eso es todo. Básicamente conozco todos los valores para poner en esa ecuación. Observe que el componente z de la velocidad angular de la persona tendrá que ser positivo para disminuir la velocidad angular de la Tierra. ¿Estás listo para las malas noticias? Incluso si pongo a este humano girando en el polo norte e incluso si el humano gira a 400,000 rpm, esencialmente obtengo un cambio cero en la velocidad angular. Bueno, al menos en python la diferencia en velocidades angulares es menor que (10 elevado a -19) rad / s.
Seguiré adelante y lo diré. No puedes frenar el día. Lo siento. Vive por el momento.
Deberes —
No podemos frenar un día, pero podemos enriquecer nuestras vidas con la tarea de física. Aquí hay algunas preguntas para usted.
- ¿Qué tan rápido tendría que girar una persona para aumentar el día en 1 segundo? Ignore los efectos relativistas al principio solo para ver qué tipo de respuesta obtiene.
- ¿Qué pasa si todas las personas en la Tierra se mudaron lo más al norte posible y luego todas giraron? ¿Cuánto más duraría un día?
- ¿Qué pasaría si todos se subieran a su automóvil y condujeran hacia el este a aproximadamente 70 mph? ¿Cómo afectaría esto la duración del día?
- ¿Cuál es la velocidad angular más alta que un humano puede tener sin desmoronarse?
- ¿Cuántas canciones puedes nombrar que hablen sobre frenar el tiempo?
- En la película de 1978, Superman vuela tan rápido alrededor de la Tierra que invierte el tiempo. Olvida por un segundo que cambiar la dirección de rotación de la Tierra no es lo mismo que invertir el tiempo, estima el cambio en la velocidad angular de la Tierra si Superman vuela 0.5 veces la velocidad de la luz alrededor de la Tierra y se conserva el momento angular
