¿A qué masa tendría el núcleo de un átomo tanta atracción que la primera capa de electrones sería atraída hacia los protones?

La masa del núcleo no es el efecto principal, especialmente para núcleos de gran masa. Como la masa del núcleo tiende al infinito, la masa reducida de los electrones tiende a la masa del electrón. Entonces este es un efecto muy lento. La gravedad es irrelevante para la estructura atómica.

La carga del núcleo es lo que importa. A medida que esto se hace más grande, el radio más interno de la carcasa se contrae hacia adentro.

La ecuación de Dirac para un átomo similar al hidrógeno tiene una singularidad mucho antes de que ocurra que toda la función de onda de electrones de la capa K está dentro del núcleo. La energía de la función de onda K-shell se vuelve imaginaria. Esta singularidad ocurre para [matemáticas] Z = \ frac {1} {\ alpha} \ sim 137 [/ matemáticas].

La singularidad está asociada con la creación de pares de positrones de electrones fuera del vacío, no con el colapso completo de la primera capa de electrones en el núcleo. Lo que sucede es que la energía de enlace es tan grande que una función de onda de estado unido cae mucho más abajo hacia el mar de energía negativa, en términos de Dirac, y el campo eléctrico es tan fuerte que puede crear un par.

Entonces, para un núcleo de tamaño realista, no funciona de esa manera.

Para que la gravedad sea lo suficientemente importante como para causar algo como lo que sugieres, básicamente necesitas un núcleo tan grande y masivo como una estrella de neutrones.

Esto ocurre en los agujeros negros. Cuando la presión de repulsión de electrones se supera por gravedad, la masa se colapsa para formar un agujero negro. Así que supongo que la respuesta sería cuando la masa es mayor que 3 masas solares ish