Este es un koan interesante y, como todos los koans, no tiene una respuesta definitiva.
Parábola de Lewis Carroll
Considere este pasaje de Alicia en el país de las maravillas [1]
- Una habitación grande al final de un pasillo ha aspirado todo el aire para formar un vacío. ¿Qué pasa si te paras en el pasillo y abres la puerta?
- Si ocurre un evento de metaestabilidad al vacío, ¿viajará la luz más rápido a través del nuevo medio que en el vacío?
- ¿Cómo describirías un objeto grande que golpea un planeta cerca de la velocidad de la luz?
- Si la Tierra se detiene por alguna catástrofe astronómica, a qué velocidad iban habitantes estacionarias en el ecuador seguir volando?
- ¿Por qué un cuerpo nos parece negro?
Sin embargo, esta botella NO estaba marcada como ‘veneno’, por lo que Alice se aventuró a probarla y la encontró muy agradable (de hecho, tenía una especie de sabor mixto de tarta de cerezas, crema pastelera, manzana de pino, pavo asado, caramelo y tostadas con mantequilla caliente), muy pronto lo terminó.
¡Qué sentimiento tan curioso! dijo Alice; Debo estar callado como un telescopio.
Y así fue de hecho: ahora tenía solo diez pulgadas de alto y su rostro se iluminó al pensar que ahora era del tamaño adecuado para atravesar la pequeña puerta de ese hermoso jardín. Primero, sin embargo, esperó unos minutos para ver si iba a encogerse más: se sintió un poco nerviosa por esto; ‘porque podría terminar, ya sabes’, se dijo Alicia, ‘en mi salida completa, como una vela. Me pregunto cómo debería ser entonces. Y trató de imaginar cómo es la llama de una vela después de que se apaga la vela, ya que no podía recordar haber visto algo así.
Sintiéndome un poco pícara, declaro que, de hecho, Alice no se encogió; todo lo demás creció. La puerta del jardín creció, y la mesa creció, y Alice permaneció del mismo tamaño.
¿Cómo probarías que estoy equivocado? Quizás señalarías que después de beber la botella, Alice solo tenía diez pulgadas de alto. Pero la única forma de saber qué tan alto es algo es sostener una regla y simplemente puedo decir que la regla creció junto con todo lo demás. Tal vez intentes un argumento de física, hablando sobre los átomos en su cuerpo, o sobre la longitud de Planck o algo así. Me reiré de ti y diré que la longitud de Planck cambió junto con todo lo demás.
En última instancia, decir “Alice se encogió” y decir “todo lo demás creció” son en realidad la misma declaración vestida de manera diferente.
Geometría hiperbólica
Este no es solo un ejemplo trivial. Varios pensadores lo consideraron muy seriamente, incluido el matemático y físico Henri Poincare. [2] Sus consideraciones llevaron al modelo de disco Poincare de geometría hiperbólica, que inspira el famoso dibujo de Escher Circle Limit IV
El dibujo nos invita a considerar cómo sería para los ángeles y demonios que habitan el disco. Desde nuestro punto de vista, se hacen cada vez más pequeños a medida que nos acercamos al borde, creando una regresión infinita de figuras diminutas.
Pero hay otra interpretación, que es que a medida que avanzas, todo se encoge naturalmente. Los ángeles y los demonios se encogen, los gobernantes se encogen, etc., todo de acuerdo con una regla precisa. [3] Entonces, si fueras un ángel que viaja desde el centro del disco hasta el borde, probablemente no dirías: “Yo y todo lo demás nos estamos reduciendo”. Diría que “todo es normal en cuanto al tamaño, pero la geometría no es euclidiana”.
Por ejemplo, en este mundo, la distancia más corta entre dos puntos, medida por los propios ángeles y demonios, resulta ser lo que vemos como una sección de un círculo. Ese círculo se convierte en lo que llamarían una línea. Como resultado, para una línea dada [matemática] l [/ matemática] y un punto dado que no está en [matemática] l [/ matemática], hay infinitas líneas que son paralelas a [matemática] l [/ matemática]. (La definición técnica de “paralelo” es que no se cruzan). Esto se ilustra en una imagen de Wikipedia. [4]
La línea azul es nuestra línea [matemáticas] l [/ matemáticas]. Las líneas negras son todas las líneas que se encuentran en un solo punto y son paralelas a [math] l [/ math]. Esto es bastante diferente de la geometría normal, donde siempre hay exactamente una línea paralela a [math] l [/ math] a través de cualquier punto dado.
De manera similar, en este mundo los ángulos de un triángulo no suman 180 grados, los rectángulos son imposibles y muchas otras cosas que damos por sentado no son ciertas. [5]
Entonces, hay dos formas de describir el mundo hiperbólico. Podrías decir que está en el espacio euclidiano normal, pero todo se encoge a medida que te mueves, o puedes decir que nada se está reduciendo y creciendo, pero esa geometría es diferente. No hay forma de diferenciar; ambos son igualmente válidos. [6]
Hemos discutido la geometría hiperbólica, pero lo mismo es cierto de la geometría diferencial más general de la relatividad general. Usualmente decimos que la materia deforma el espacio-tiempo, pero podríamos decir que el espacio-tiempo permanece igual y la materia deforma los gobernantes y los relojes.
Hay muchos casos similares en física donde hay varias formas diferentes de decir lo mismo. Todos suenan diferentes, pero en última instancia son idénticos. Por ejemplo, la mecánica clásica tiene muchas formulaciones equivalentes diferentes, cada una de las cuales revela las propiedades matemáticas de la misma teoría bajo una nueva luz. [7]
Si queremos saber si las cosas se mueven a través del espacio o si el espacio adquiere los atributos de una cosa, necesitamos idear algún tipo de prueba que indique la diferencia entre estos dos escenarios. Si no hay una prueba para distinguirlos, entonces, al igual que los diferentes modelos de espacio hiperbólico, son simplemente diferentes formas de decir lo mismo.
Me parece que este es el caso, al menos a menos que seamos mucho más específicos sobre la definición de los términos involucrados. Entonces mi respuesta es que ambas son igualmente ciertas.
Un ejemplo cuántico
Aquí hay una instancia donde podemos ver esto matemáticamente:
En mecánica cuántica, una partícula se describe por su función de onda, que convencionalmente escribimos como [math] | \ Psi \ rangle [/ math]. Si queremos extraer la posición de la partícula, necesitamos escribir un “producto interno”, que es una ecuación como esta:
[matemáticas] x (0) = \ langle \ Psi ^ \ daga (0) | X | \ Psi (0) \ rangle [/ math]
[matemáticas] x (0) [/ matemáticas] significa que estamos encontrando la posición [matemáticas] x [/ matemáticas] en el momento [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ Psi (0) [/ matemáticas] significa que estamos utilizando la función de onda en el tiempo cero para hacerlo. La [matemática] X [/ matemática] en el lado derecho extrae la posición de la partícula, en oposición a su impulso o energía. Las dos instancias de [math] \ Psi [/ math] son exactamente cómo funciona matemáticamente la teoría. No se preocupe por detalles como [math] \ dagger [/ math] y [math] \ langle \ rangle [/ math]. Esas son solo cosas que necesitamos para ser técnicamente precisos.
Esa ecuación nos da la posición en el tiempo [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. [8] Si queremos saber la posición en un momento posterior [matemática] t [/ matemática], necesitaremos usar algo llamado “el propagador”, [matemática] U (t) [/ matemática], y la ecuación es:
[matemáticas] x (t) = \ langle \ Psi ^ \ daga (0) U ^ \ daga (t) XU (t) \ Psi (0) \ rangle [/ matemáticas]
que es similar a la ecuación anterior, pero con [math] U [/ math] extra insertado. A propósito, he omitido las líneas [math] | [/ math] de antes para enfatizar que esta ecuación se puede interpretar de dos maneras diferentes.
Una forma de decir que [matemáticas] U [/ matemáticas] multiplica la función de onda [matemáticas] \ Psi [/ matemáticas]. Podríamos escribir
[matemáticas] x (t) = \ langle \ Psi ^ \ daga (0) U ^ \ daga (t) | X | U (t) \ Psi (0) \ rangle [/ math]
Esto es lo mismo que antes, pero [math] U (t) \ Psi [/ math] se sustituye por [math] \ Psi (0) [/ math]. Si escribimos
[matemáticas] \ Psi (t) = U (t) \ Psi (0) [/ matemáticas]
entonces podemos abreviar esto como
[matemáticas] x (t) = \ langle \ Psi ^ \ daga (t) | X | \ Psi (t) \ rangle [/ math]
Esto dice que [matemáticas] X [/ matemáticas] no cambia, pero la función de onda cambia con el tiempo. Eso es aproximadamente el equivalente a decir que el objeto se mueve en el espacio.
Sin embargo, podemos interpretar la misma ecuación como
[matemáticas] x (t) = \ langle \ Psi ^ \ daga (0) | U ^ \ daga (t) XU (t) | \ Psi (0) \ rangle [/ matemáticas]
O introduciendo [matemáticas] X (t) = U ^ \ daga (t) XU (t) [/ matemáticas], podemos escribir
[matemáticas] x (t) = \ langle \ Psi ^ \ daga (0) | X (t) | \ Psi (0) \ rangle [/ math]
En esta imagen, la función de onda permanece igual a medida que pasa el tiempo. En cambio, el operador [matemática] X [/ matemática], que representa la forma de extraer posiciones espaciales, cambia.
Estos puntos de vista son los mismos matemáticamente, pero conceptualmente diferentes. Se llaman “transformaciones activas” y “transformaciones pasivas” respectivamente, y es un ejemplo de cómo podríamos interpretar que cualquier afirmación sobre el movimiento a través del espacio es correcta. [9]
[1] http://www.gutenberg.org/files/1…
[2] ver el capítulo 4 de Space and Geometry aquí:
http://strangebeautiful.com/othe…
Lamentablemente, Poincare no es muy citable.
[3] La regla es que en el radio [math] r [/ math], su regla se contrae por un factor [math] 1 – r ^ 2 [/ math], donde el radio de todo el disco se establece en [math] 1 [/ matemáticas].
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Hyp… tiene más información sobre geometría hiperbólica.
[5] Un buen recurso matemático para quienes no tienen una amplia experiencia es la geometría euclidiana y no euclidiana de Morris Greenberg
[6] De hecho, hay más que estas dos representaciones. Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyp…
[7] Una fuente accesible es una charla que Richard Feynman dio como parte de la serie Messenger Lectures. Lo puedes encontrar aquí:
http://research.microsoft.com/ap… Creo que es la segunda conferencia, pero no estoy seguro porque no tengo el software de video propietario del malvado señor en esta computadora.
[8] Puedes saber que en la mecánica cuántica, cosas como la posición no son completamente seguras. La ecuación es para el valor esperado de posición; Es una especie de mejor conjetura.
[9] Véanse las páginas 29 a 30 de los Principios de la mecánica cuántica de Shankar .
