El número de Chern es el más publicitado, pero existen múltiples números topológicos diferentes, y son interesantes o convenientes en diferentes situaciones.
Citando “Matemáticas para la física” 13.6.2 aquí
Cualquier polinomio invariante de calibre (con multiplicación exterior de formas entendidas) en F proporciona una forma diferencial cerrada, topológicamente invariante. Sin embargo, ciertas combinaciones tienen propiedades deseables adicionales y, por lo tanto, se les han dado nombres.
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Los números de Chern son buenos, porque toman valores enteros.
¡Pero a veces tenemos que usar otros números! Saqué esta tabla de [1].
Hay muchos términos que dan miedo, pero la esencia de esto significa que, dependiendo del sistema, podríamos elegir usar un tipo diferente de número. A veces estoy aquí sobre el número de liquidación, pero rara vez estoy aquí sobre los demás.
Pero las cantidades topológicas no solo tienen que ser fórmulas complicadas que nadie entiende, lo que implica algunas matemáticas esotéricas que tal vez dos personas entiendan.
También hay algunas cosas topológicas físicas directas.
Esto aquí es un Skyrmion.
[3] Pueden ocurrir en ciertos sistemas magnéticos.
La orientación local de los giros cambia muy lentamente, pero en general, los giros cambian desde abajo en el centro hasta arriba en el límite. Este defecto no se puede eliminar sin voltear una gran cantidad de giros. En general, es un estado mucho más alto que el estado fundamental, pero la probabilidad de que todo cambie al mismo tiempo es extremadamente baja.
Podemos calcular números de bobinado para Skyrmions.
También existen otras cuasipartículas topológicas, aunque los Skyrmions son los más populares.
El momento angular se cuantifica en un condensado de Bose-Einstein, pero en lugar de que aparezca una singularidad de vórtice en el centro como en los fluidos clásicos, los fluidos cuánticos tienen un vórtice por cada unidad de momento angular.
[4] Podemos calcular un número de devanado alrededor de cada vórtice para calcular la cantidad de momento angular que el vórtice suministra a todo el BEC. Ese número es una invariante topológica.
En mi grupo, estudiamos una clase de materiales llamada Spin Ice .
En Spin Ice, tenemos excitaciones que parecen monopolos magenticos. Pero estos monopolos SIEMPRE tienen una línea de giros que apuntan de un cambio de monopolo a otro cambio de monopolo. Puedes mover la cuerda, pero no puedes deshacerte de ella. Cuando no hay monopolos presentes, tenemos bucles de flechas que apuntan de uno a otro. Todo el estado del sistema es un montón de bucles. Rompe un bucle, obtienes dos monopolos y una cadena entre ellos.
[5]
Debido a que podemos deformar estas cosas, pero no hacer que desaparezcan sin rasgarse o pegarse, son topológicas.
[1] Chiu, Ching-Kai y col. “Clasificación de la materia cuántica topológica con simetrías”. Reseñas de Modern Physics 88.3 (2016): 035005.
[2] Stone, Michael y Paul Goldbart. “Matemáticas para la física”. Nueva York: Pimander-Casaubon (2009).
[3] Por Karin Everschor-Sitte y Matthias Sitte (Los Autores) [CC BY-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licen…)], a través de Wikimedia Commons
[4] Vortex Lattices ( [correo electrónico protegido] )
[5] Lin, Lin y col. “Observación experimental de la magnetoelectricidad en hielo spin Dy2Ti2O7”. New Journal of Physics 17.12 (2015): 123018.
