¿Cómo afecta un número súper alto de Prandtl al flujo de fluidos?

El número de Prandtl es la relación de viscosidad a difusividad térmica. El número de Prandtl influirá en el flujo del fluido siempre que la temperatura y el campo de velocidad estén acoplados, como en el contexto de la aproximación de Boussinesq. La aproximación de Boussinesq consiste en suponer que la densidad del fluido varía linealmente con la temperatura, pero que el único efecto no desapareciente de esta variación se debe a la fuerza de la gravedad. Por lo tanto, no hay diferencia en la masa inercial debido a las variaciones de temperatura. Esta suposición conduce a las ecuaciones de Boussinesq, que son un conjunto de PDE acopladas, una que es la ecuación de Navier Stokes con un término de fuerza corporal que proviene de la gravedad y proporcional a la temperatura, y la otra que es la ecuación de difusión de advección para el campo de temperatura.

Considere las ecuaciones de movimiento no dimensionalizadas para un fluido Boussinesq:
[matemáticas] \ frac {1} {Pr} (\ frac {\ partial u} {\ partial t} + u \ cdot \ nabla u) = – \ nabla p + \ Delta u + \ hat {z} Ra T [/ math ]
[matemáticas] \ nabla \ cdot u = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial T} {\ partial t} + u \ cdot \ nabla T = \ Delta T
[/matemáticas]

Aquí el número de Prandtl se denota [math] Pr [/ math], el número de Rayleigh (la constante de proporcionalidad entre flotabilidad y temperatura en nuestro caso / fuerza de calentamiento) se denota por [math] Ra [/ math], la temperatura por [math] T [/ math] y el vector de velocidad de [math] u [/ math].

El caso más simple de un flujo elevado de números de Prandtl es cuando el número de Prandtl se establece en infinito. En este caso, la ecuación de Navier-Stokes se simplifica enormemente a medida que el término de advección desaparece:
[matemáticas] – \ Delta u + \ nabla p = \ hat {z} Ra T [/ matemáticas]
Esta es la ecuación para el flujo de Stokes, con la fuerza del cuerpo proporcional a la temperatura. Esta ecuación se puede resolver para [matemáticas] u [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] T [/ matemáticas]. Por lo tanto, decimos que el campo de velocidad está “esclavo” del campo de temperatura cuando el número de Prandtl es infinito. Por lo tanto, la dinámica del problema se reducirá a un problema de convección-difusión pura para el campo de temperatura, y qué tipo de comportamiento se producirá dependerá de las condiciones de contorno. Si hay un fuerte gradiente de temperatura (que conduce a un alto número de Rayleigh) a través de la capa, entonces la solución de conducción puede ser inestable y el flujo puede estar dominado por convección, pero de lo contrario el transporte de calor estará dominado por la conducción.

Si el número de Prandtl es finito pero muy grande, el resultado será que en la mayor parte del fluido el flujo será casi exactamente como el caso del número de Prandtl infinito. Cerca de los límites habrá capas límite donde el campo de velocidad es mucho más independiente del campo de temperatura, lo cual es necesario para que se cumplan las condiciones límite. El tamaño de la capa límite aumentará con la disminución del número de Prandtl.

Para describir el comportamiento de un flujo conductivo / convectivo, se introduce una cantidad llamada número de Nusselt, que se define como la relación entre el transporte de calor promediado en el tiempo desde la convección hasta el transporte de calor debido a la conducción. Cuando el problema es turbulento o cuando hay una convección fuerte, el efecto es hacer que el gradiente de temperatura sea cero en la mayor parte del fluido (fuera de las capas límite de temperatura, que se contraen al aumentar el número de Rayleigh), minimizando así la conducción. El comportamiento promedio de un fluido con un número de Prandtl fijo y un número de Rayleigh se caracteriza por el número de Nusselt, y se realizan muchas investigaciones teóricas / numéricas / experimentales para determinar cómo el número de Nusselt se escala en función de Prandtl y Rayleigh.

Para Rayleigh fijo y un número de Prandtl muy grande, la escala de Nusselt (Pr) es muy debatida, he visto propuestas y datos que sugieren una dependencia plana o una ligera dependencia inversa. Actualizaré esta respuesta cuando tenga la oportunidad de verificar realmente la investigación actual.

Para responder a esta pregunta, debemos comenzar con lo básico. Muchas personas conocen la transferencia de calor y los mecanismos básicos que rigen las tasas de transferencia de calor. Estos incluyen conducción, radiación y convección.

La conducción es simplemente la transferencia de calor del punto A al B a través de un medio que no fluye, no se mueve, simplemente el intercambio de calor debido a que las moléculas vibran unas contra otras y se calientan entre sí. Ejemplo: el calentamiento de una pistola de soldar desde su mango hasta la punta.

La radiación es el calor que se transfiere debido a la radiación electromagnética en el infrarrojo, y otras bandas que simplemente transfieren energía. Es lo que nuestros cuerpos conocen como calor. Ejemplo: el calor de la luz solar.

Finalmente tenemos convección . La convección ocurre cuando tenemos un fluido sentado entre los puntos A y B. El fluido cerca del punto caliente comienza a moverse en corrientes y remolinos de tal manera que el movimiento del líquido realmente transfiere energía también. Ejemplo: el movimiento de aire caliente hacia arriba cerca de un radiador (que genera una corriente de frío hacia abajo).

El número de Prandtl es una constante, una figura de mérito (un número adimensional) que caracteriza la convección.

Pr, a su vez, requiere un par de otras constantes: la velocidad de difusión viscosa y la velocidad de difusión térmica. Esto tiene sentido porque para caracterizar qué tan bueno será un material en convección, necesitamos saber un par de cosas:

  1. La velocidad de difusión térmica. Esta tasa es básicamente la medida utilizada para la conducción. Por ejemplo, una sartén de aluminio conducirá el calor a su comida mucho más rápido que, digamos una de vidrio.
  2. La viscosidad La eficacia de algo en la convección debe depender absolutamente de la viscosidad porque el fluido debe moverse, debe FLUIR. La viscosidad tiene que ver con el flujo. La miel es altamente viscosa, fluye muy lentamente. No querrás transferir calor usando miel.

Echa un vistazo a la siguiente lista. Verá que, en comparación con el agua (todos estamos familiarizados con los huevos hirviendo), el manto de la Tierra tiene una Pr extremadamente alta. El manto de la Tierra, por lo tanto, es muy bueno para realizar convección. Verá el aceite del motor, lo cual tiene sentido. En un entorno altamente dinámico y fluido (motor de automóvil), desea algo que transfiera muy bien el calor.


De todos modos, ahí lo tienes. Accesible.

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