El número de Prandtl es la relación de viscosidad a difusividad térmica. El número de Prandtl influirá en el flujo del fluido siempre que la temperatura y el campo de velocidad estén acoplados, como en el contexto de la aproximación de Boussinesq. La aproximación de Boussinesq consiste en suponer que la densidad del fluido varía linealmente con la temperatura, pero que el único efecto no desapareciente de esta variación se debe a la fuerza de la gravedad. Por lo tanto, no hay diferencia en la masa inercial debido a las variaciones de temperatura. Esta suposición conduce a las ecuaciones de Boussinesq, que son un conjunto de PDE acopladas, una que es la ecuación de Navier Stokes con un término de fuerza corporal que proviene de la gravedad y proporcional a la temperatura, y la otra que es la ecuación de difusión de advección para el campo de temperatura.
Considere las ecuaciones de movimiento no dimensionalizadas para un fluido Boussinesq:
[matemáticas] \ frac {1} {Pr} (\ frac {\ partial u} {\ partial t} + u \ cdot \ nabla u) = – \ nabla p + \ Delta u + \ hat {z} Ra T [/ math ]
[matemáticas] \ nabla \ cdot u = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial T} {\ partial t} + u \ cdot \ nabla T = \ Delta T
[/matemáticas]
Aquí el número de Prandtl se denota [math] Pr [/ math], el número de Rayleigh (la constante de proporcionalidad entre flotabilidad y temperatura en nuestro caso / fuerza de calentamiento) se denota por [math] Ra [/ math], la temperatura por [math] T [/ math] y el vector de velocidad de [math] u [/ math].
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El caso más simple de un flujo elevado de números de Prandtl es cuando el número de Prandtl se establece en infinito. En este caso, la ecuación de Navier-Stokes se simplifica enormemente a medida que el término de advección desaparece:
[matemáticas] – \ Delta u + \ nabla p = \ hat {z} Ra T [/ matemáticas]
Esta es la ecuación para el flujo de Stokes, con la fuerza del cuerpo proporcional a la temperatura. Esta ecuación se puede resolver para [matemáticas] u [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] T [/ matemáticas]. Por lo tanto, decimos que el campo de velocidad está “esclavo” del campo de temperatura cuando el número de Prandtl es infinito. Por lo tanto, la dinámica del problema se reducirá a un problema de convección-difusión pura para el campo de temperatura, y qué tipo de comportamiento se producirá dependerá de las condiciones de contorno. Si hay un fuerte gradiente de temperatura (que conduce a un alto número de Rayleigh) a través de la capa, entonces la solución de conducción puede ser inestable y el flujo puede estar dominado por convección, pero de lo contrario el transporte de calor estará dominado por la conducción.
Si el número de Prandtl es finito pero muy grande, el resultado será que en la mayor parte del fluido el flujo será casi exactamente como el caso del número de Prandtl infinito. Cerca de los límites habrá capas límite donde el campo de velocidad es mucho más independiente del campo de temperatura, lo cual es necesario para que se cumplan las condiciones límite. El tamaño de la capa límite aumentará con la disminución del número de Prandtl.
Para describir el comportamiento de un flujo conductivo / convectivo, se introduce una cantidad llamada número de Nusselt, que se define como la relación entre el transporte de calor promediado en el tiempo desde la convección hasta el transporte de calor debido a la conducción. Cuando el problema es turbulento o cuando hay una convección fuerte, el efecto es hacer que el gradiente de temperatura sea cero en la mayor parte del fluido (fuera de las capas límite de temperatura, que se contraen al aumentar el número de Rayleigh), minimizando así la conducción. El comportamiento promedio de un fluido con un número de Prandtl fijo y un número de Rayleigh se caracteriza por el número de Nusselt, y se realizan muchas investigaciones teóricas / numéricas / experimentales para determinar cómo el número de Nusselt se escala en función de Prandtl y Rayleigh.
Para Rayleigh fijo y un número de Prandtl muy grande, la escala de Nusselt (Pr) es muy debatida, he visto propuestas y datos que sugieren una dependencia plana o una ligera dependencia inversa. Actualizaré esta respuesta cuando tenga la oportunidad de verificar realmente la investigación actual.