Derivaré el caso del arrastre lineal (flujo viscoso), que en realidad es incorrecto para el arrastre en el aire , pero bastante preciso en la mayoría de los líquidos :
Para velocidades muy bajas (antes de que se establezca la turbulencia), la fuerza de arrastre [math] \ vec {D} [/ math] sobre un objeto que se mueve a través de un fluido ( por ejemplo, aire) es proporcional a la velocidad [math] \ vec {v} [ / matemática] del objeto y (como siempre, por fricción) dirigido opuesto al movimiento:
[matemáticas] \ vec {D} \; = \; – \ kappa \; \ vec {v}. [/matemáticas]
- Si la luz es energía y la energía no tiene masa, ¿por qué la velocidad de la luz no es infinita?
- ¿Qué limita la velocidad de la luz en el vacío?
- ¿Envejecería lentamente si empiezo a correr a diario, de acuerdo con la teoría especial de la relatividad?
- Si fuera posible expandir el espacio detrás y contraerse delante de usted para moverse a la velocidad de la luz, o más rápido que eso, ¿tendría que navegar alrededor de planetas y estrellas, o tendría que ser una trayectoria libre de objetos? ¿planificado?
- ¿Qué es más correcto "la velocidad de la luz es constante" o "todas las mediciones de luz dan un valor constante"?
Esta ecuación vectorial se separa en dos ecuaciones escalares para los componentes horizontal ([matemático] x [/ matemático]) y vertical ([matemático] y [/ matemático]):
[matemáticas] D_x \; = \; – \ kappa \; v_x \ quad \ hbox {y} \ quad D_y \; = \; – \ kappa \; v_y. [/matemáticas]
Combinado con una fuerza gravitacional constante [matemática] mg [/ matemática] en la dirección hacia abajo ([matemática] -y [/ matemática]), esto nos permite separar la Segunda Ley de Newton ([matemática] \ vec {F} = m \ vec {a} [/ math]) en ecuaciones horizontales y verticales independientes:
[matemáticas] m a_x \; = \; – \ kappa \; v_x \ quad \ hbox {y} \ quad m a_y \; = \; – mg \; – \ kappa \; v_y. [/matemáticas]
Dividiendo entre [matemáticas] m [/ matemáticas] y observando que [matemáticas] a \ equiv {dv \ over dt} [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] {d v_x \ over dt} \; = \; – k \; v_x \ quad \ hbox {y} \ quad {d v_y \ over dt} \; = \; – g \; – k \; v_y, [/ math] donde [math] \ quad k \ equiv \ kappa \ over m. [/matemáticas]
Las soluciones a estas ecuaciones son
[matemáticas] v_x (t) \; = \; v_ {x_0} \; e ^ {- kt} \ quad \ hbox {y} \ quad v_y (t) \; = \; – v_f \; + \; (v_ {y_0} + v_f) e ^ {- kt} [/ math]
donde [math] v_f \ equiv {g \ over k} [/ math] es la velocidad terminal .
Estas ecuaciones también se pueden “resolver” para las posiciones horizontal y vertical como funciones del tiempo,
[matemáticas] x (t) \; = \; x_0 \; + \; {v_ {x_0} \ over k} \ left (1 – e ^ {- kt} \ right) \ quad \ hbox {y} \ quad y (t) \; = \; y_0 \; – \; v_f t \; + \; \ left (v_ {y_0} + v_f \ over k \ right) \ left [1 – e ^ {- kt} \ right]. [/matemáticas]
Puede verificar estos resultados usted mismo tomando los derivados del tiempo.
