Aunque los fotones no tienen masa, sí tienen impulso, donde [matemática] p = mv [/ matemática]
Según la ley de Newton, sabemos que [matemática] F = ma [/ matemática] pero esto es solo una aproximación del principio real de movimiento de Newton, donde:
[matemáticas] F = \ dfrac {dp} {dt} = \ dfrac {d (mv)} {dt} [/ matemáticas]
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Al llevar a cabo la diferenciación, terminamos con:
[matemáticas] F = v \ dfrac {dm} {dt} + m \ dfrac {dv} {dt} [/ matemáticas]
Según la teoría de la relatividad, la inercia dinámica de cualquier objeto depende de su propia velocidad, de esta manera:
[matemáticas] m = \ dfrac {m_0} {\ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]
donde [math] m_0 [/ math] es la masa determinada con el objeto en reposo y [math] c [/ math] es la velocidad de la luz.
Sin embargo, en la mayoría de los casos elementales, se puede suponer que [math] m [/ math] es constante, por lo que el primer término en la ley de Newton desaparece (ya que la derivada de una constante es 0), lo que nos deja con:
[matemáticas] F = m \ dfrac {dv} {dt}, [/ matemáticas] donde, por supuesto, [matemáticas] a = \ dfrac {dv} {dt} [/ matemáticas]
lo que lleva a [matemáticas] F = ma. [/ matemáticas]
Pero, la velocidad también es la derivada de la posición con respecto al tiempo, por lo que podemos decir que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo:
[matemáticas] F = m \ dfrac {d ^ 2x} {dt ^ 2} [/ matemáticas]
¿Qué más sabemos?
Sabemos por la teoría especial de la relatividad que
[matemáticas] E ^ 2 = p ^ 2c ^ 2 + (m_0c ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
pero como los fotones tienen masa en reposo cero, esto se simplifica a:
[matemáticas] E ^ 2 = p ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]
y tomar la raíz cuadrada nos deja con
[matemáticas] E = pc [/ matemáticas]
y desde
[matemáticas] E = mc ^ 2, [/ matemáticas] entonces tenemos
[matemáticas] mc ^ 2 = pc [/ matemáticas]
podemos cancelar una c, de ambos lados de la ecuación y terminamos con:
[matemáticas] mc = p [/ matemáticas]
Pero también sabemos que [matemáticas] p = \ dfrac {h} {λ} [/ matemáticas]
y al combinar las dos ecuaciones, terminamos con:
[matemáticas] mc = \ dfrac {h} {λ} [/ matemáticas]
resolviendo para la masa, nos da
[matemáticas] m = \ dfrac {h} {λc} [/ matemáticas]
y según la teoría de la gravedad de Newton, dado que los fotones tienen ‘masa’ proporcional a su longitud de onda, entonces tienen influencia gravitacional con la fuerza de la gravedad siendo [matemática] F = \ dfrac {h} {λc} \ dfrac {d ^ 2x} { dt ^ 2} [/ matemáticas]
Sin embargo, a partir de la Relatividad general, que es nuestra comprensión más actual de la gravedad, sabemos que cualquier fuente de energía, momento y demás está incluida en el tensor [matemático] T_ {μν} [/ matemático], que a su vez causa una curvatura en el espacio-tiempo y esta curvatura conduce a la gravedad, a través de:
[matemáticas] G_ {μν} = \ dfrac {8πG} {c ^ 4} T_ {μν} [/ matemáticas]
¡Espero que esto ayude!
