En realidad, es bastante intuitivo cuando se considera lo que realmente significa integración.
Probablemente, la explicación intuitiva más fácil de una integral es con la suma de Riemann (por eso muchos libros de cálculo de introducción lo enseñan primero). Tenemos una función sobre algunas variables de entrada. Si tomamos pequeñas porciones de la función, podemos calcular el área debajo de la curva.
Eso es bueno y está bien si todo lo que queremos es área, pero ¿qué pasa con otros tipos de funciones? Usted citó el centro de masa, así que tomemos eso como un ejemplo. Una forma de calcular el centro de masa es integrarse sobre el objeto (sin importar las dimensiones que tenga) utilizando la función de fuerza a lo largo de ese eje, dividida por la longitud del eje correspondiente.
- ¿Dónde y cómo termina la fuerza gravitacional?
- Si una persona de alguna manera comenzara a caer por tierra firme, ¿qué trayectoria seguiría?
- ¿Similitud entre la fuerza de gravedad y la fuerza de resorte?
- ¿Cuál es la velocidad de escape en el centro de la tierra?
- ¿Qué es la intensidad gravitacional?
En este contexto, ¿qué significa el área bajo la curva? Simplifiquemos esta pregunta con una analogía. “Supongamos que tenemos una lista de números; ¿Qué importancia tiene la suma de la lista? Nada realmente. Si te dijera que la suma de una lista era 200, ¿qué te dice eso? No mucho, ¿verdad? Podría tener {150,50}, {50,40,50,60}, o incluso 200 1’s. La suma por sí sola no tiene sentido. Es por eso que para obtener una métrica útil, necesitamos dividir por el número de elementos (lo que nos da una media).
Del mismo modo, la integral de la fuerza ejercida sobre un eje es solo eso: una integral / área / número. Pero es algo así como la fuerza “total”. Para obtener una métrica significativa (para calcular el centro de masa, por ejemplo), necesitamos una forma útil de interpretar la integral o modificarla de manera significativa. Como dividir por la longitud del eje.
