Derive la ecuación de movimiento para el péndulo. Aplica la segunda ley de Newton con el componente tangencial de la gravedad.
[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]
[matemáticas] – mg \ sin \ theta = m \ ell \ ddot {\ theta} [/ matemáticas]
- ¿Se caerá o subirá la antimateria si se deja a cierta altura en el campo gravitacional de la Tierra?
- Si la Tierra tiene una forma redonda, ¿cómo se queda el agua del océano en la Tierra en lugar de deslizarse hacia el espacio?
- Si Proxima Centauri b tuviera una circunferencia 1,2 veces el tamaño de la Tierra, ¿qué tipo de composición interna podría darle la misma gravedad que la Tierra?
- ¿Por qué los astronautas experimentan gravedad cero en el espacio exterior? ¿Por qué no comienzan a orbitar el Sol de forma independiente una vez que salen de la fuerza gravitacional de la Tierra?
- ¿Qué sucede cuando dos objetos de diferentes temperaturas entran en contacto? ¿Qué tipo de transferencia de energía ocurrirá con el contacto de esos dos objetos?
Utilice la aproximación de ángulo pequeño [matemática] \ sin \ theta \ aproximada \ theta [/ matemática] y simplifique.
[matemáticas] 0 = \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {\ ell} \ theta [/ matemáticas]
Entonces tenemos una ecuación diferencial para el movimiento del péndulo. Suponga una solución sinusoidal [matemática] \ theta (t) = A \ cos (\ omega t) [/ matemática]. Enchufando, obtenemos
[matemáticas] 0 = -A \ omega ^ 2 \ cos (\ omega t) + \ frac {g} {\ ell} A \ cos (\ omega t) [/ matemáticas]
Resolviendo para [math] \ omega [/ math],
[matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {g} {\ ell}} [/ matemáticas]
Como conocemos la frecuencia angular, podemos calcular el período.
[matemáticas] T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {\ ell} {g}} [/ matemáticas]
De lo que se deduce que
[matemáticas] T \ propto g ^ {- 1/2} [/ matemáticas]
Otra forma de llegar al mismo resultado es usar el análisis dimensional. Sabemos que las únicas variables disponibles para que el período dependa son [matemáticas] m [/ matemáticas], [matemáticas] \ ell [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas]. Suponga que el período es proporcional a un producto de potencias de estas variables.
[matemáticas] T \ propto m ^ \ alpha \ ell ^ \ beta g ^ \ gamma [/ matemáticas]
Considere las dimensiones involucradas en esta ecuación. En unidades mks, tenemos
[matemáticas] (s) = (kg) ^ \ alpha (m) ^ \ beta (m / s ^ 2) ^ \ gamma [/ matemáticas]
Tenemos segundos a la izquierda, y los segundos solo aparecen en el término gamma a la derecha. La única forma en que las unidades pueden ser consistentes es si [math] \ gamma = -1/2 [/ math].
