Derive la ecuación de movimiento para el péndulo. Aplica la segunda ley de Newton con el componente tangencial de la gravedad.
[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]
[matemáticas] – mg \ sin \ theta = m \ ell \ ddot {\ theta} [/ matemáticas]
- ¿Por qué se mueven los objetos cuando se aplica una fuerza desequilibrada?
- ¿Qué es la altura metacéntrica?
- ¿Cómo se calcula la fuerza resistiva?
- Si viajé a 100 mph en un automóvil y arrojé un objeto al aire, luego detuve el automóvil inmediatamente, ¿irá el objeto hacia adelante?
- ¿Es la gravedad una función de la densidad o la masa?
Utilice la aproximación de ángulo pequeño [matemática] \ sin \ theta \ aproximada \ theta [/ matemática] y simplifique.
[matemáticas] 0 = \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {\ ell} \ theta [/ matemáticas]
Entonces tenemos una ecuación diferencial para el movimiento del péndulo. Suponga una solución sinusoidal [matemática] \ theta (t) = A \ cos (\ omega t) [/ matemática]. Enchufando, obtenemos
[matemáticas] 0 = -A \ omega ^ 2 \ cos (\ omega t) + \ frac {g} {\ ell} A \ cos (\ omega t) [/ matemáticas]
Resolviendo para [math] \ omega [/ math],
[matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {g} {\ ell}} [/ matemáticas]
Como conocemos la frecuencia angular, podemos calcular el período.
[matemáticas] T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {\ ell} {g}} [/ matemáticas]
De lo que se deduce que
[matemáticas] T \ propto g ^ {- 1/2} [/ matemáticas]
Otra forma de llegar al mismo resultado es usar el análisis dimensional. Sabemos que las únicas variables disponibles para que el período dependa son [matemáticas] m [/ matemáticas], [matemáticas] \ ell [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas]. Suponga que el período es proporcional a un producto de potencias de estas variables.
[matemáticas] T \ propto m ^ \ alpha \ ell ^ \ beta g ^ \ gamma [/ matemáticas]
Considere las dimensiones involucradas en esta ecuación. En unidades mks, tenemos
[matemáticas] (s) = (kg) ^ \ alpha (m) ^ \ beta (m / s ^ 2) ^ \ gamma [/ matemáticas]
Tenemos segundos a la izquierda, y los segundos solo aparecen en el término gamma a la derecha. La única forma en que las unidades pueden ser consistentes es si [math] \ gamma = -1/2 [/ math].
