Depende, pero generalmente es mejor usar la distancia. Sin embargo, la razón de la ambigüedad se debe a una de las formas de categorizar las fuerzas, ya sea conservadora o no conservadora.
Como la mayoría de las fuerzas no son conservadoras, es mejor hablar sobre ellas con respecto a cómo difieren de las fuerzas conservadoras. Una fuerza conservadora es aquella en la que el trabajo realizado por la fuerza no depende de la distancia que recorrió el agente que ejerce la fuerza, sino de su desplazamiento neto. El ejemplo más obvio de esto es la gravedad. No importa cuán arriba y abajo sea su camino, el trabajo realizado por la gravedad es igual a su desplazamiento. Si bien esto puede no parecer obvio de inmediato, calcule el trabajo realizado por gravedad en un camino curvado verticalmente. Encontrará que las caídas y subidas se cancelan mutuamente. Una consecuencia de esto es que todas las fuerzas conservadoras tienen una energía potencial asociada. Si calcula la energía potencial gravitacional, solo depende de la altura por encima de su altura cero establecida, y su cambio en la energía potencial gravitacional está relacionado solo con su cambio de altura. En este caso, no solo es su desplazamiento, sino también el componente vertical del mismo. Del mismo modo, los resortes tienen una energía potencial de resorte (o elástico) asociada. El trabajo realizado por un resorte es igual a su desplazamiento, no a la distancia total recorrida. Nuevamente, le animo a que imagine un resorte pasando por una oscilación, y calcule el trabajo realizado usando s una distancia. Encontrará que en el caso de un resorte, solo el desplazamiento es íntimamente importante.
Para todas las fuerzas no conservadoras, el camino recorrido sí importa. Las fuerzas no conservativas no tienen una energía potencial relacionada, y su ecuación de trabajo es igual al desplazamiento. El ejemplo más común de eso es la fricción. Si va de un lado a otro, la fricción elimina constantemente la energía de su sistema a través del trabajo, mientras que un resorte no lo habría cambiado (suponiendo 1 osciallación completa).
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Para estar seguro, siempre es mejor usar la distancia, y solo recuerda que para las fuerzas conservadoras, puedes usar el desplazamiento.
En cuanto a por qué vemos exactamente este comportamiento, tiene que ver con la definición de que el trabajo es un producto escalar. Mientras que la gravedad tiene una dirección fija, la fricción no. Por lo tanto, subir hace que la gravedad haga un trabajo negativo, mientras que bajar lo hace positivo. Por otro lado, como la fricción puede cambiar libremente de dirección para resistir el movimiento, siempre puede hacer un trabajo negativo.
