Si la Tierra presumiblemente tiene una densidad homogénea, ¿por qué su fuerza gravitacional disminuiría con nosotros sobre ella (Fundamentos de la física de Halliday)?

La razón por la cual su intuición le está fallando es porque está tratando a la Tierra como si su masa estuviera concentrada en el centro, cuando no lo está. Hay dos experimentos de Gedanke que puede realizar para responder a su pregunta: (a) Compare la gravedad en el centro donde la masa lo empuja en todas las direcciones, con la gravedad que experimenta la luna. (b) Imagine un eje de elevación que pasa de poste a poste a través del centro y luego imagine cómo se comportaría el elevador si lo deja caer.

Imagine que está dentro de la Tierra, a una distancia [matemática] r [/ matemática] de su centro, con [matemática] r

Piense en la Tierra compuesta de dos partes, la esfera interna de radio [matemática] r [/ matemática], y el equilibrio de la esfera original, una concha esférica.

Como Newton demostró, la fuerza gravitacional dentro de una capa esférica de densidad uniforme es cero. Entonces, la única fuerza neta proviene de la esfera interna de radio [matemática] r [/ matemática] y, como se esperaba, la fuerza sobre una masa [matemática] m [/ matemática] viene dada por la ley estándar:

[math] F (r) = \ displaystyle \ frac {GmM_r} {r ^ 2} [/ math], donde [math] M_r [/ math] es la masa de la esfera interna.

Suponiendo una densidad homogénea, la masa varía según el cubo del radio, por lo que si [matemática] M [/ matemática] es la masa de la Tierra,

[matemáticas] \ displaystyle M_r = M \ frac {r ^ 3} {R ^ 3} [/ matemáticas],

y

[matemáticas] \ displaystyle F (r) = \ frac {Gm} {r ^ 2} \ cdot M \ frac {r ^ 3} {R ^ 3} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {GmM} {R ^ 3} \ cdot r [/ math]

En otras palabras, la fuerza es proporcional a [matemáticas] r [/ matemáticas] – cero en el centro, y aumenta linealmente hasta que alcanza el valor habitual en la superficie de la Tierra.

En el centro gravitacional de la tierra, los vectores de toda la masa de la tierra están a tu alrededor, tirando de ti desde todos los lados. Estos suman a cero. En un modelo simplificado, si está a medio camino entre dos masas iguales, cada una lo empujará en direcciones opuestas con la misma fuerza. La fuerza neta sobre ti será cero.

Ok, entonces usualmente pensamos que la gravedad de la tierra se origina en un punto en el centro de la tierra. Esto simplifica nuestros diagramas, pero no es exactamente exacto. Cada parte de la tierra tira de ti por separado, incluso la tierra que tus pies tocan tira de ti. La cosa es que la mayor parte de la tierra tiende a estar debajo de ti, por lo que todo se mueve aproximadamente en la misma dirección. Abajo.

Recuerde, cuanto más profundo en la tierra va, menos tierra hay debajo de usted y más hay por encima de usted. Esto no solo significa que hay menos cosas debajo de ti para tirar hacia abajo, sino que hay cosas sobre ti que te empujan hacia arriba.