Digamos que su “masa uniforme” es una esfera de radio [matemática] R [/ matemática] con una masa total [matemática] M [/ matemática].
Según el teorema de Shell, el campo gravitacional fuera de la esfera es el mismo que si estuviera condensado en una masa puntual, y por lo tanto, el potencial gravitacional (la energía potencial depende de lo que pones allí) en la superficie viene dado por [matemáticas] Phi (R) = -GM / R [/ matemáticas].
También desde el teorema del caparazón, puede mostrar que el campo gravitacional es proporcional al radio dentro de la esfera misma:
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[matemáticas] \ vec g (r) = – \ frac {GMr} {R ^ 3} \ hat r [/ matemáticas].
Por lo tanto, el potencial gravitacional en un punto dado dentro de la esfera se puede calcular a través de la diferencia de potencial entre esta y la superficie:
[matemáticas] \ begin {align *}
\ Phi (r) & = \ Phi (R) + \ int_r ^ R g (r ‘) \, \ mathrm {d} r’ \\
& = – \ frac {GM} {R} + \ int_r ^ R – \ frac {GMr ‘} {R ^ 3} \, \ mathrm {d} r’ \\
& = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {R ^ 3} \ cdot \ frac {1} {2} \ left (R ^ 2 – r ^ 2 \ right) \\
& = – \ frac {GM} {2R} \ left [3 – \ frac {r ^ 2} {R ^ 2} \ right].
\ end {align *} [/ math]
Entonces, el gráfico se ve así:
