El potencial gravitacional [matemática] \ phi [/ matemática] en física no relativista es una cantidad escalar que satisface la ecuación de Poisson para la gravedad:
[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G \ rho, [/ matemáticas]
donde [math] \ nabla [/ math] es el operador de gradiente, [math] \ rho [/ math] es la densidad de masa y [math] G [/ math] es la constante de Newton para la gravedad. Dado que las dimensiones de [math] \ nabla [/ math] son de longitud inversa, las dimensiones de [math] \ phi [/ math] son las de la velocidad al cuadrado.
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La solución genérica a la ecuación de Poisson en una ubicación espacial dada por el vector [math] {\ mathbf r} [/ math] está dada por
[matemática] \ phi ({\ mathbf r}) = – \ displaystyle \ int \ int \ int \ dfrac {\ rho ({\ mathbf r} ‘)} {| {\ mathbf r}’ – {\ mathbf r} |} ~ dV. [/ math]
Una fuente puntual de masa [matemática] M [/ matemática] en la ubicación [matemática] {\ mathbf r} _0 [/ matemática] está representada por la función delta de Dirac, [matemática] \ rho ({\ mathbf r}) = M \ delta ^ 3 ({\ mathbf r} – {\ mathbf r} _0) [/ math]. Cuando sustituimos esto en la integral anterior, obtenemos la fórmula para la gravitación newtoniana con la que la mayoría de las personas está familiarizada:
[math] \ phi ({\ mathbf r}) = – \ dfrac {GM} {| {\ mathbf r} _0 – {\ mathbf r} |}. [/ math]
Nuevamente, las dimensiones funcionan a las de la velocidad al cuadrado.
Una partícula de prueba que se mueve en este campo gravitacional experimentará una aceleración proporcional a la divergencia del campo gravitacional:
[math] \ ddot {\ mathbf r} = \ dfrac {GM} {| {\ mathbf r} _0 – {\ mathbf r} | ^ 3} ({\ mathbf r} _0 – {\ mathbf r}). [ /matemáticas]
Esto, por supuesto, es una cantidad vectorial. Las dimensiones a ambos lados de la ecuación son las de aceleración, es decir, longitud dividida por tiempo al cuadrado.
También es posible escribir una forma adimensional del potencial gravitacional, como a menudo se hace en física relativista, dividiéndolo con el cuadrado de la velocidad de la luz, [matemáticas] c [/ matemáticas]. En la relatividad general, la gravedad, por supuesto, no está representada por un escalar o un vector, sino por el tensor métrico. Sin embargo, en el caso de campos gravitacionales muy débiles (como el de la Tierra o el del Sol), uno de los componentes del tensor métrico corresponderá al potencial newtoniano: [matemáticas] g_ {00} \ simeq 1 + 2 \ phi / c ^ 2 [/ matemáticas]. Esto crea la conexión entre la física newtoniana y la einsteiniana, y también allana el camino para construir aproximaciones útiles de la relatividad general, que luego pueden usarse, por ejemplo, para estudiar efectos tales como la flexión de la luz por el sol.
