Finanzas cuantitativas: ¿De qué manera los mercados financieros son similares al calor dado que la ecuación de Black-Scholes se parece a la ecuación del calor?

Permítanme cuestionar la suposición que es parte de la pregunta. Los mercados y el calor no están muy relacionados en absoluto.

Considere el modelo de precios Black-Scholes-Merton para las opciones europeas. Hace suposiciones muy fuertes. Para todos ellos, excepto uno, se han realizado estudios concluyentes para demostrar que los supuestos no son válidos. Para el que es la excepción, la evidencia convincente sugiere que también es defectuosa, aunque hay un poco menos de consenso en la academia.

Entonces, ¿de dónde viene la ecuación de calor? La respuesta simple es que es una forma conveniente de representar la creciente incertidumbre sobre el retorno de un instrumento financiero a medida que pasa el tiempo. En otras palabras, en el modelo BSM, la masa de probabilidad se difunde en el rango de posibles retornos, al igual que el calor concentrado en un punto se difundiría con el tiempo a través de una varilla metálica de longitud infinita cuyos lados están aislados.

¿Esto dice algo sobre cómo funcionan los mercados financieros? ¡No! Esto dice algo acerca de cómo podemos modelar nuestra incertidumbre del futuro en un momento dado. El camino que tomarán los mercados estará determinado por varios factores que este modelo no tendrá en cuenta, pero ese camino será único y, en gran medida, no aleatorio.

En cuanto a los detalles matemáticos esenciales … resultan no ser demasiado complicados. La ecuación de calor aparece en la imagen yendo al límite de una caminata aleatoria binomial y tomando una expansión de Taylor.

Quizás la mayor caída de Black Scholes es que modela eventos basados ​​en la probabilidad de Guassian y descuenta la probabilidad de eventos de cola, que son esencialmente eventos que se consideran poco probables.

Sin embargo, en los mercados financieros, la probabilidad de eventos que generalmente se etiquetan como “improbables” en realidad es mucho mayor de lo que suponen Black Scholes y otros modelos similares.

Y la razón es esta: Black Scholes es un modelo lineal, pero los mercados son sistemas complejos y adaptativos.

En un sistema lineal, una causa crea un efecto de igual fuerza. Un ejemplo básico sería tirar una pelota de baloncesto al suelo. Cuanto más fuerte lo lances, más alto rebota.

Pero en sistemas complejos, una causa muy pequeña puede tener un efecto extremo. En este caso, sería como dejar caer una pelota de baloncesto desde la altura de la barbilla y hacer que se dispare a 2.000 pies en el aire.

Los eventos de cola tienen una probabilidad mucho más alta que los modelos lineales suponen que los eventos pequeños ocurren todo el tiempo. Y en sistemas complejos, estas pequeñas fuerzas pueden acumularse, sin ser vistas, para crear eventos extremos.

Finalmente, los mercados financieros seguramente NO son una caminata aleatoria.

Quienes lo sugieren, como Burton Mankiel, sinceramente carecen de comprensión de lo que hace que los mercados se muevan.

Los mercados son, sobre todo, impulsados ​​por la psicología humana, específicamente el comportamiento de rebaño y la aversión a la pérdida.

Y esta psicología ha existido durante un millón de años más o menos, y sigue repitiéndose.

Por eso, si toma un gráfico de cualquier instrumento (acciones, bonos, monedas, etc.) y quita el precio y el eje de tiempo, no puede saber cuál es cuál.

El comportamiento humano se repite. No es al azar, pero es complejo.

Y aquellos que no entienden esta complejidad de error, ya sea para patrones lineales simples o aleatoriedad.