Cada vez que necesite describir una relación que involucra la tasa de cambio de una función, esa es una ecuación diferencial. Digamos que su función es la posición de un objeto en algún momento: x (t). La aceleración de ese objeto sería la segunda derivada de esa función: a = x ” (t). La fuerza (F) es igual a la masa (m) por la aceleración, usemos la gravedad como ejemplo: F = mg; donde g es la aceleración debida a la gravedad (9.81 m / s ^ 2 si mi memoria es correcta). Sabemos que F = ma = mg, entonces a = g, por lo tanto, tenemos la ecuación diferencial de segundo orden: x ” (t) = g. Ahora integre sobre [0, t] y obtendrá: x ‘(t) = gt + v. En este caso, v, es la constante de integración y representaría la velocidad inicial del objeto (necesitaría especificar ambos la velocidad inicial y las posiciones iniciales del objeto para obtener respuestas numéricas de esta ecuación diferencial).
Ahora tenemos una ecuación de primer orden: x ‘(t) = gt + v, así que integre nuevamente sobre [0, t] para obtener:
x (t) = g * t ^ 2 + v * t + z
donde z es la posición inicial del objeto. Ese es un ejemplo de cómo una ecuación diferencial puede ser útil, me permitió describir la ruta de un objeto que se cae de un acantilado. También es importante tener en cuenta que la ecuación diferencial en este ejemplo:
F = m * x ” (t)
es mucho más poderoso que la fórmula: x (t) = g * t ^ 2 + v * t + z porque la fórmula es solo una de las posibles soluciones a la ecuación. Verá, pude obtener la fórmula especificando un conjunto de condiciones y aplicándolas a la ecuación diferencial. Si quisiera una solución más precisa, podría haber incluido un factor para la resistencia del aire y luego haber resuelto la ecuación diferencial.
No sé si estaba buscando ejemplos en un contexto particular, pero casi todas las ecuaciones en física (y por ingeniería de extensión) son ecuaciones diferenciales de algún tipo. Otros usos prácticos para las ecuaciones diferenciales incluyen, entre otros: fijación de precios de opciones sobre acciones, descripción del flujo de calor y ecuaciones de Maxwell (para campos eléctricos y magnéticos).
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Ahora, creo que esto debería darle suficiente información para la prueba. Podemos usar algo llamado lagrangiana (L) en física como alternativa a las leyes de Newton. Si T es la energía cinética del sistema y V es la energía potencial del sistema, la ecuación de Euler-Lagrange puede describir la evolución temporal del sistema: 
Por favor demuestre su maravillosa comprensión de las ecuaciones diferenciales ahora (gracias a mí) resolviendo el Ejercicio 1.1.1.1.1 (ayb) en el siguiente enlace: Página en ucdavis.edu.
Cuando haya completado la parte a, la parte b es presentar una solución general de la ecuación de Euler-Lagrange utilizando la respuesta de la parte a como lagrangiana. Puede publicar sus respuestas en los comentarios debajo de esta respuesta. El crédito parcial se considerará solo si vota a favor esta respuesta. La parte a valdrá 50 puntos y la parte b valdrá 50 puntos.
Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales también se pueden usar para dar una calificación reprobatoria en una clase. QED
