Una vez que comienza a adquirir experiencia con la física, comienza a comprender la importancia de escalar. Hablamos de que ciertas cosas son pequeñas y ciertas cosas son grandes, pero ¿qué significa eso realmente?
¿El ancho de un cabello humano es grande o pequeño? Si hablamos de la órbita de un planeta alrededor del sol, una distancia del orden del ancho de un cabello humano es minúscula. Por otro lado, si estamos hablando de electrones que se mueven alrededor de un núcleo atómico, una distancia del orden del ancho de un cabello humano es absolutamente enorme, y de hecho, funcionalmente infinita en la mayoría de los casos que se me ocurre.
En ese sentido, los fenómenos físicos llevan consigo escalas intrínsecas, contra las cuales se puede decir que otras cosas son grandes o pequeñas. En el caso del átomo de hidrógeno, la ecuación que rige el movimiento de un electrón en el campo eléctrico del núcleo es
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[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ Psi – \ frac {e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 r} \ Psi = E \ Psi [/ math]
Esta es la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno. ¿Cuáles son los parámetros en la ecuación? Bueno, tenemos [math] \ hbar, e, \ epsilon_0, [/ math] y [math] m [/ math]. Por lo tanto, cualquiera que sea la escala de longitud, debe surgir de una combinación de esos tres parámetros. ¿Podemos encontrar algo con dimensiones de longitud?
Claro, no hay problema. Si haces un poco de trabajo, encuentras que
[matemáticas] a_0 = \ frac {4 \ pi \ epsilon_0 \ hbar ^ 2} {me ^ 2} [/ matemáticas]
Tiene dimensiones de longitud. Esto se llama el radio de Bohr, y cuando resuelve el problema, descubre que esta es la distancia cuadrática media entre el electrón y el núcleo cuando el electrón está en su estado fundamental. En otras palabras, define un tamaño efectivo del átomo.
El factor de [matemáticas] 4 \ pi [/ matemáticas] es irrelevante aquí. El punto es que usando los parámetros fundamentales del problema, podemos tener una idea razonablemente buena de lo que son “grande” y “pequeño”, lo que nos dice cuándo esta teoría es particularmente importante.
No sabemos cómo será la teoría fundamental de la física, o si alguna vez encontraremos una. Sin embargo, si lo hacemos, debe incluir los parámetros fundamentales que rigen la física tal como la conocemos. Al incorporar las constantes aparentemente universales [math] c, \ hbar, [/ math] y [math] G [/ math], podemos crear objetos con dimensiones de longitud, masa y tiempo, que son la longitud de Planck, la masa de Planck y el tiempo de Planck. Siguiendo el argumento anterior, esas son probablemente escalas importantes para la operación fundamental del universo.
Examinando sus valores numéricos, la longitud de Planck y el tiempo de Planck son ridículamente pequeños en nuestras unidades cotidianas. Parece probable, entonces, que estas son las escalas de longitud y tiempo en las que será necesaria una nueva física para describir adecuadamente cómo funcionan las cosas. La masa de Planck es bastante grande, curiosamente, algo así como la masa de un grano de arena, que es decididamente de un tamaño clásico. Sin embargo, un agujero negro en masa de Planck tendría un horizonte de eventos de aproximadamente una longitud de Planck de ancho.
De todos modos, el punto es que solo por argumentos dimensionales, las escalas de Planck deben estar relacionadas con el lugar donde se descomponen nuestros modelos agradables y suaves de espacio y tiempo. Aún no se ha determinado exactamente qué relación tienen.
