En movimiento circular uniforme, ¿cómo es la velocidad promedio igual a la velocidad instantánea?

Supongo que estamos hablando de velocidad angular. La clave de la respuesta es que la palabra “uniforme” en este contexto significa inmutable.

Debido a que el movimiento es uniforme, podemos alejar con la mano un montón del cálculo. Usaré algunos números para hacer que el ejemplo sea concreto.

Primero, consideremos la “velocidad promedio”. Lo primero que debe recordar es que no obtiene la velocidad promedio simplemente haciendo un promedio numérico de velocidades individuales. Esto es muy importante para recordar. Ver la PS a continuación. Para calcular la velocidad, medimos la distancia recorrida y la dividimos por la cantidad de tiempo que tomó recorrer esa distancia. En este caso, la distancia es la rotación angular acumulativa. Tenga en cuenta que esta es una velocidad “promedio” durante ese período de tiempo. Todavía no tenemos el concepto de velocidad instantánea.

Para ser concretos, supongamos que tenemos una rueda que gira a 1 revolución por minuto. Medimos en el tiempo 0 y llamamos a su posición 0. Ahora, un minuto después, medimos y vemos que ha vuelto a la posición 0. Ha cubierto una distancia de rotación de 1 revolución completa. (Necesitamos asegurarnos de que la rueda realmente esté girando en este caso y no solo atascada en la posición 0 🙂) Solo voy a usar rotaciones como la unidad de medida. En física estarías usando radianes. Los números funcionan independientemente de cómo mida el ángulo. Entonces, a una rpm, la rueda gira 1 rotación en un minuto. ¿Supongamos que medimos durante 1/2 minuto? ¿Qué tan lejos giró la rueda? Bueno, la velocidad de la rueda es uniforme, por lo que sabemos que en 1/2 minuto, hizo 1/2 rotación. ¿Cuál es este valor para la velocidad angular? Es 1/2 rotación / 1/2 minuto o 1 rpm. Lo mismo que medimos durante 1 minuto. Probablemente puedas ver lo que va a pasar aquí. Si medimos más de 1/4 de minuto, obtenemos una velocidad de 1/4 de rotación / 1/4 de minuto o 1 rpm.

Aquí es donde entra la velocidad instantánea. Reducimos la medición del tiempo a 0 y vemos qué valor resulta. Este es el cálculo. En este caso, la operación se llama “encontrar la derivada”. En nuestro caso, estamos encontrando la derivada de la distancia con respecto al tiempo. Esto se llama la “velocidad instantánea”, es decir, la velocidad en un solo instante en lugar de la media durante un período finito. En este problema, es bastante fácil ver que la velocidad instantánea es de 1 rpm. Esto se debe a que tenemos una velocidad uniforme. Este no es el caso en general.

Si grafica la distancia angular de la rueda con el tiempo, vería que es una línea recta. Esa línea tendrá cierta pendiente. Esa pendiente es la velocidad. (Algo que no se mueve tendría una pendiente de 0.) Ahora debería ser un poco más claro que la pendiente de la línea en cualquier intervalo de tiempo es la misma que la pendiente en cualquier punto. Sin embargo, este es un argumento intuitivo, no una prueba.

Ahora para ir en la otra dirección. Si tenemos una velocidad instantánea constante, ¿qué implica eso para la velocidad promedio? Usando el gráfico de arriba, es algo intuitivo que son lo mismo. Acabamos de mostrar que instantáneo = promedio, por lo que sigue ese promedio = instantáneo.

Sin embargo, volvamos a los primeros principios para ver si obtenemos alguna idea. Si algo se está moviendo y sabemos su velocidad instantánea, vi, entonces la distancia que se mueve en algún intervalo de tiempo, ti, es aproximadamente: vi * ti. Cuanto más pequeño sea el ti, mejor será la estimación. Si nos movemos a esta nueva ubicación y usamos su velocidad instantánea, podemos hacer otra pequeña estimación de la distancia. Si hacemos esto durante un intervalo mayor, tenemos una aproximación de la distancia recorrida. Además, cuanto más fino sea el intervalo de tiempo, mejor será la aproximación. Calcular esa distancia es el otro lado del cálculo. En este caso, decimos que “integramos la velocidad” para obtener la distancia. El cálculo, por supuesto, trata el límite a medida que el intervalo de tiempo llega a cero, pero tenemos un atajo: movimiento uniforme. Primero, la distancia recorrida durante el corto intervalo de tiempo no es aproximadamente vi * ti. Es exactamente vi * ti. ¿Por qué? Movimiento uniforme. La velocidad nunca cambió en el intervalo. A continuación, ¿cuál es la velocidad instantánea en el nuevo punto? Lo mismo que el viejo punto. ¿Por qué? Movimiento uniforme. Lo que esto significa es que para cualquier intervalo de tiempo, la distancia recorrida es exactamente vi * ti. Si calculamos la velocidad promedio durante este intervalo, tenemos (vi * ti) / ti = vi. Entonces la velocidad promedio = velocidad instantánea.

Tenga en cuenta que no conocemos la posición real del objeto usando este método. Solo sabemos lo lejos que viajó. En nuestro ejemplo de rueda, si la rueda comenzó a 1/4 de revolución, luego de un minuto está de vuelta en la posición de 1/4 de vuelta. Si comenzó a 1/2 revolución, luego de un minuto está de vuelta en la posición de 1/2 vuelta. Podemos conocer la posición final solo si conocemos la posición inicial.

Entonces ahí lo tienes. Movimiento uniforme, circular o de otro tipo, significa que la velocidad instantánea y la velocidad promedio son iguales. Además, nos permite hacer algunos atajos matemáticos en nuestros cálculos en lugar de derivadas e integrales de cálculo completo.

PD: para mostrar que no obtienes la velocidad promedio promediando numéricamente las velocidades individuales, considera el siguiente problema. Un automóvil conduce alrededor de una pista de carreras de 1 milla a una velocidad promedio de 30 millas / hora. ¿Qué tan rápido tendría que conducir una segunda vuelta para que la velocidad promedio de ambas vueltas fuera de 60 millas / hora? Mucha gente diría rápidamente 90 millas / hora, pero esto es incorrecto. Intenta resolverlo tu mismo. Sugerencia: el auto se agotó todo el tiempo permitido en la primera vuelta.

PPS: tenga en cuenta que nos dieron el hecho de que teníamos un movimiento circular uniforme como parte de la configuración del problema. En la vida real, no puedes asumir un movimiento uniforme. Debe medir para demostrar que es uniforme o proporcionar alguna otra prueba o evidencia.

PPPS: tenga en cuenta que no usamos nada específico sobre la distancia angular en nuestros argumentos. El mismo razonamiento y patrón se mantiene independientemente de lo que estemos midiendo. Si la “velocidad” es uniforme, el valor promedio es igual al valor instantáneo. Aún más profundo, observe que tampoco usamos nada específico sobre el tiempo. Podría haber habido alguna otra variable con la que estábamos midiendo. Entonces, en general, “si la tasa de cambio es constante, entonces el valor promedio es igual al valor instantáneo”. Esto se puede resolver usando solo las ecuaciones matemáticas. Este es uno de los grandes poderes de las matemáticas cuando se usa en ciencias.

Suponiendo que toma el promedio durante un período de tiempo suficiente, la velocidad promedio es cero, la velocidad instantánea nunca es cero.

Creo que puedes haber querido decir velocidad. La velocidad media = velocidad instantánea porque la velocidad es constante. Entonces la escala de tiempo no importa.

La velocidad promedio es la distancia recorrida durante un período de tiempo, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad a la que pasa un solo punto. Puede tener Iv = 0 y Av = 1 o ambos pueden ser iguales.