Primero, desde el punto de vista matemático.
Digamos que tenemos un espacio vectorial [math] n [/ math] -dimensional sobre los reales. Cualquiera de las dos bases ordenadas de [matemáticas] V [/ matemáticas] están relacionadas por una transformación lineal única [matemáticas] T [/ matemáticas]. Si [math] \ det T> 0 [/ math] entonces decimos que las dos bases tienen la misma mano; de lo contrario ([matemática] \ det T <0 [/ matemática]) decimos que tienen la mano opuesta. (Tenga en cuenta que el determinante no puede ser cero, porque entonces [matemática] T [/ matemática] tendría un rango deficiente, es decir , su imagen no abarcaría [matemática] V [/ matemática].) Es fácil ver que esto está bien definido ( p . ej. , si [matemáticas] B_1, B_2 [/ matemáticas] tienen mano opuesta y [matemáticas] B_2, B_3 [/ matemáticas] tienen mano opuesta, entonces [matemáticas] B_1, B_3 [/ matemáticas] tienen la misma mano). Así podemos dividir el conjunto de todas las bases ordenadas en dos subconjuntos por mano. Luego elegimos arbitrariamente uno de los dos subconjuntos y llamamos a todos sus miembros “diestros”; Las otras bases son zurdas. Cada una de las dos opciones posibles se llama orientación. (Por lo tanto, podemos definir formalmente una orientación para que sea una clase de equivalencia de bases ordenadas).
Si [math] V [/ math] es [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] entonces por convención definimos la base ordenada estándar [math] (e_1, \ ldots, e_n) [/ math] para ser diestro. Sin embargo, esta definición también tiene sentido si [math] V [/ math] es un espacio vectorial sin una base canónica obvia, como el espacio tangente a un punto dado en una variedad Riemanniana. Cuando se requiere una orientación, no importa cuál elija, siempre y cuando sea consistente.
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Ahora supongamos que hemos elegido una orientación de [matemáticas] V [/ matemáticas]. Supongamos además que [math] V [/ math] es un espacio interno de producto, con producto interno [math] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math]. Digamos que tenemos [math] n-1 [/ math] vectores linealmente independientes, [math] v_1, v_2, \ ldots, v_ {n-1} [/ math]. Estos generan un subespacio dimensional [matemático] n-1 [/ matemático] de [matemático] V [/ matemático]. El conjugado ortogonal de este subespacio es un subespacio unidimensional, [math] W \ subseteq V [/ math]. Claramente [math] W [/ math] es la unión del vector cero y dos rayos. A lo largo de un rayo hay vectores [math] w [/ math] de modo que [math] v_1, v_2, \ ldots, v_ {n-1}, w [/ math] forman una base ordenada a la derecha de [math] V [ /matemáticas]; elegir [math] w [/ math] del otro rayo le daría una base ordenada para zurdos. La elección del primer rayo es la “regla de la mano derecha” inducida por la orientación elegida de [matemáticas] V [/ matemáticas].
Segundo, desde el punto de vista físico . (Esta sección es más larga porque conozco mejor física que matemática).
La física en tres dimensiones hace un uso extensivo del producto cruzado, y la capacidad de formar un producto cruzado depende crucialmente de la regla de la mano derecha. De la discusión anterior vemos que la “dirección” correcta para el producto cruzado se determina eligiendo la orientación estándar en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y usando el procedimiento dado en el párrafo anterior. Pero para cuatro o más dimensiones ya no puede tomar el producto cruzado de dos vectores; necesita vectores [math] n-1 [/ math], donde [math] n [/ math] es el número de dimensiones. ¿Asi que que hacemos?
Bueno, el producto cruzado en tres dimensiones toma dos vectores y produce un tercer vector. Nuestra generalización en la sección anterior sugiere cómo tomar vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] en dimensiones [matemáticos] n [/ matemáticos] y obtener otro vector. (En realidad, no hemos abordado la magnitud, pero omitiré este detalle ya que no es importante). Pero la formulación de la física en cuatro y mayores dimensiones implica una generalización diferente del producto cruzado. Se necesitan dos vectores, pero el resultado no es un vector. Este producto cruzado generalizado se llama producto de cuña y produce un bivector .
Quizás se pregunte por qué no vemos bivectores en física en tres dimensiones. Hay dos razones para esto. Primero, en tres dimensiones y solo en tres dimensiones, existe una correspondencia entre bivectores y vectores llamada dualidad de Hodge . (En las dimensiones [math] n [/ math], un vector [math] k [/ math] es Hodge dual a un vector [math] nk [/ math]). Esto es lo que nos permite pretender que los objetos obtenidos Al tomar productos cruzados, como el campo magnético y el momento angular, en realidad son vectores. Pero en [math] n [/ math] dimensiones, un bivector requiere [math] n (n-1) / 2 [/ math] componentes independientes para representar, y esto equivale a [math] n [/ math] solo cuando [math ] n = 3 [/ matemáticas]. Entonces, en dimensiones más altas, nos vemos obligados a enfrentar el hecho de que el campo magnético realmente no es un vector, ni tampoco lo es el momento angular. (Por lo tanto, realmente hay componentes [math] n (n-1) / 2 [/ math] conservados de momento angular en dimensiones [math] n [/ math]. Esto se debe a que hay [math] n (n-1 ) / 2 [/ matemáticas] grados de libertad de rotación, y la invariancia debajo de cada uno da una cantidad conservada correspondiente al teorema de Noether.)
En segundo lugar, en física generalmente representamos un bivector como un tensor antisimétrico de tipo (2, 0). El momento angular, por ejemplo, se definiría como [matemáticas] L ^ {ij} = r ^ ip ^ j – r ^ jp ^ i [/ matemáticas]. Esta notación tiene la ventaja de ser más fácil de calcular, pero oscurece la existencia intrínseca y libre de coordenadas de los bivectores (que viven en un álgebra llamada álgebra exterior ).
Echemos un vistazo al campo magnético nuevamente. Si ya no es un vector, ¿cómo lo tratamos? Bueno, no es un vector, pero sabemos que podemos obtener un vector de él, en la ley de fuerza de Lorentz,
\ begin {ecuación *}
\ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})
\ end {ecuación *}
A diferencia de [math] \ mathbf {B} [/ math], la fuerza [math] \ mathbf {F} [/ math] es un vector real. Lo obtuvimos al tomar el producto cruzado nuevamente (recuerde que debe tomar un producto cruzado cuando calcule [math] \ mathbf {B} [/ math] usando la ley Biot-Savart). De alguna manera, tomar el producto cruzado dos veces hace que todo vuelva a estar bien. Puede pensar que la solución, en general, es tomar el producto de cuña de la velocidad y el campo magnético (ahora un bivector). Desafortunadamente, esto no hace lo correcto. Le dará un trivector (o un tensor antisimétrico de tipo (3, 0)). Esto se debe a que el producto cruzado en la ley de Biot-Savart y el producto cruzado en la ley de fuerza de Lorentz son realmente diferentes. La generalización correcta de este último no es el producto de cuña; en cambio, es el producto interior . Esto corresponde a la contracción de un tensor antisimétrico con un vector. (Por supuesto, tendrá que bajar el índice en el vector). Tomar el producto interior de un vector 2 con una forma 1 da un vector, que corresponde a una forma 1 bajo el isomorfismo canónico inducido por la métrica (El isomorfismo musical ). (Del mismo modo, tomar el producto interior de una forma 2 con un vector da una forma 1).
¡Observe que la mano ha desaparecido por completo de la imagen! No necesita elegir una orientación para definir el momento angular o el campo magnético, cuando los considera como bivectores. La orientación solo es necesaria para formar el Hodge dual, que es lo que hacemos en tres dimensiones para representar bivectores como vectores. Cuando no hacemos esto, no necesitamos una regla de la mano derecha en absoluto.
Toda esta información se captura en la forma covariante de la ley de fuerza de Lorentz,
\ begin {ecuación *}
\ frac {\ mathrm {d} p ^ i} {\ mathrm {d} \ tau} = q F ^ {ij} u_j
\ end {ecuación *}
(Mi compañero de cuarto odia la notación de índice, pero espero que ahora esté claro por qué se usa: ¡no necesitas entender la geometría diferencial para darle sentido!)
¡Pero espera hay mas! Un vector obtenido a través de la dualidad de Hodge no es realmente un vector verdadero, ya que depende de la orientación. En realidad es un objeto llamado pseudovector . Un pseudovector es un objeto como un vector, excepto que además de transformarse de forma contraria con un cambio de base, también sufre una inversión si la nueva base tiene la mano opuesta. (Imagine un automóvil que viaja hacia el norte. Los momentos angulares de sus neumáticos apuntan hacia el oeste. Observe que si tomamos la imagen especular de este automóvil a través de un plano perpendicular al eje este-oeste, entonces los momentos angulares de sus neumáticos aún apuntan hacia el oeste. es porque fueron volteados por la imagen especular, pero luego volvieron a voltearse ya que son pseudovectores).
En física clásica, todos los pseudovectores (y pseudoescalares, y pseudotensores, que se definen de manera similar) son producidos por la dualidad de Hodge. En notación de índice, tomar el doble de Hodge es contraerse con el tensor Levi-Civita, módulo un factor multiplicativo. La idea es que elegimos una base ordenada que consideramos “diestra”, y definimos el tensor Levi-Civita con el signo apropiado de modo que contraerlo con esta base dé un número positivo. De esta manera, determinamos el signo del tensor Levi-Civita y, por lo tanto, la convención de Handeness. La generalización del producto cruzado de los vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] para dar un vector es la contracción de los vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] con el tensor Levi-Civita; por lo tanto, el signo del tensor Levi-Civita determina el signo del “producto cruzado”, que ahora es exactamente como esperamos, ya que sabemos que el signo del producto cruzado depende de la orientación.
Tenga en cuenta que en la notación de índice vemos de un vistazo qué objetos son tensores y cuáles son pseudotensores; cada vez que contrae tensores con el tensor Levi-Civita, se “contaminan” con la mano.
Ahora, hay algunos fenómenos en la física que realmente dependen de la orientación. En particular, la interacción débil no es simétrica bajo paridad. Esto nos impide realmente hacer física de una manera “sin manos”, como sugerí en mi discusión sobre el campo magnético. En la teoría cuántica de la interacción débil hay un objeto que tiene un propósito similar al tensor Levi-Civita, llamado la quinta matriz gamma, [math] \ gamma ^ 5 [/ math]. Una vez más, la elección arbitraria del signo de esta matriz determina la mano, y los objetos producidos por la contracción de los hiladores con [math] \ gamma ^ 5 [/ math] son pseudotensores en lugar de verdaderos tensores.
Este es un montón de texto, y me temo que solo podrás entenderlo a primera vista si ya sabes lo que significan todas las palabras. (Si ese es el caso, entonces espero haber dado una explicación clara de cómo aplicar los conceptos a la física). Si no es así, consulte un libro de texto sobre geometría diferencial.
