Bueno, tu conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas será
[matemáticas] \ dot {N_1} = -k_1 N_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dot {N_2} = k_1 N_1 – k_2 N_2 [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ dot {N_3} = k_2 N_2 [/ matemáticas]
donde he asumido que [math] N_1 [/ math] no se repone y [math] N_3 [/ math] es estable. Poniendo eso en forma de matriz,
[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ vec {N} = K \ vec {N} [/ matemáticas]
dónde
[matemática] \ vec {N} = \ left (\ begin {array} {c} N_1 \\ N_2 \\ N_3 \ end {array} \ right) [/ math]
y
[matemática] K = \ left (\ begin {array} {ccc} -k_1 & 0 & 0 \\ k_1 & -k_2 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \ end {array} \ right) [/ math]
En este punto, podemos asumir una solución de la forma
[matemáticas] \ vec {N} = \ vec {N_0} e ^ {\ lambda t} [/ matemáticas]
entonces nuestra ecuación matricial se convierte
[matemática] (K – \ lambda \ matemática {I}) \ vec {N} = 0 [/ matemática]
Entonces, lo que implica que
[matemática] det (K- \ lambda \ matemática {I}) = 0 [/ matemática]
Resolver esa ecuación produce tres valores de lambda, correspondientes a tres vectores propios. El estado inicial de su sistema se puede construir como una suma de estos tres, lo que le proporciona su estado en función del tiempo. Necesito un minuto para hacer el resto en papel, pero esa es la idea.
EDITAR:
Bien, entonces los tres pares de valores propios / vectores propios son:
[matemáticas] \ lambda = -k_1 \ rightarrow \ vec {v_1} = \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ \ frac {-k_1} {k_1-k_2} \\ \ frac {k_2} {k_1 -k_2} \ end {array} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ lambda = -k_2 \ rightarrow \ vec {v_2} = \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ -1 \ end {array} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ lambda = 0 \ rightarrow \ vec {v_3} = \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) [/ math]
De aquí se deduce que la solución más general es:
[matemáticas] \ vec {N} (t) = c_1 \ vec {v_1} e ^ {- k_1 t} + c_2 \ vec {v_2} e ^ {- k_2 t} + c_3 \ vec {v_3} [/ matemáticas]
para algunos valores [matemática] c_1, c_2, c_3 [/ matemática] que están determinados por las condiciones iniciales de su problema. Para el caso particularmente simple en el que comienzas con [math] N_0 [/ math] átomos de tu primer isótopo y ninguno de los otros, encuentras
[matemáticas] c_1 = N_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c_2 = \ frac {k_1} {k_1-k_2} N_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c_3 = N_0 [/ matemáticas]
Que produce las tres ecuaciones
[matemáticas] N_1 (t) = N_0e ^ {- k_1 t} [/ matemáticas]
[matemáticas] N_2 (t) = N_0 \ frac {k_2} {k_1-k_2} \ left (e ^ {- k_2 t} – e ^ {- k_1 t} \ right) [/ math]
[matemáticas] N_3 (t) = N_0 \ izquierda (1+ \ frac {k_2e ^ {- k_1 t} -k_1 e ^ {- k_2 t}} {k_1-k_2} \ derecha) [/ matemáticas]
Cualquier otra condición inicial se puede acomodar, pero se necesita un poco de álgebra.
Entonces, para responder a su pregunta: la medición de [matemáticas] N_1 [/ matemáticas] en dos momentos diferentes es suficiente para medir [matemáticas] k_1 [/ matemáticas]. A partir de ahí, puede calcular [math] k_2 [/ math] ajustando una curva a cualquiera de las otras ecuaciones; la única cantidad desconocida será [math] k_2 [/ math], por lo que no debería ser demasiado difícil.