Porque olvidó una parte crucial de la declaración en su pregunta:
De las ecuaciones de Maxwell, toda la luz tiene la misma velocidad en el vacío
Para derivar ondas EM de propagación a partir de las ecuaciones de Maxwell, tome las formas generales:
- Cuando se creó Tachyon, su velocidad debería haber sido cero, entonces, ¿cómo puede viajar Tachyon siempre más rápido que la luz?
- ¿Los métodos propuestos de viaje FTL que 'evitan' la velocidad de la luz (por ejemplo, agujeros de gusano, si son viables como método de tal viaje) crean violaciones de causalidad? ¿Cuál es una explicación para un público lego?
- ¿Por qué los "rayos de luz" perpendiculares no se molestan entre sí?
- ¿Cómo nos llegaron las ondas gravitacionales? Obviamente tenían que cubrir esa distancia adicional expandida, entonces, ¿las olas se movieron más rápido que la luz?
- ¿Viajará la luz más rápido que la velocidad de la luz (C), si es atraído por un agujero negro?
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ textbf {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} \ quad \ quad \ quad \ nabla \ times \ textbf {E} = – \ frac {\ partial \ textbf {B} } {\ parcial t} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ textbf {B} = 0 \ quad \ quad \ quad \ nabla \ times \ textbf {B} = \ mu_0 \ textbf {j} + \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ textbf { E}} {\ parcial t} [/ matemáticas]
Y luego los pones en el vacío, entonces [matemática] \ rho = 0 [/ matemática] y [matemática] \ textbf {j} = 0 [/ matemática], de modo que las ecuaciones se vuelvan:
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ textbf {E} = 0 \ quad \ quad \ quad \ nabla \ times \ textbf {E} = – \ frac {\ partial \ textbf {B}} {\ partial t} [/ math ]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ textbf {B} = 0 \ quad \ quad \ quad \ nabla \ times \ textbf {B} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ textbf {E}} {\ partial t} [/matemáticas]
Luego, sigue el proceso que describí aquí para deducir el hecho de que [math] c ^ 2 = \ frac {1} {\ epsilon_0 \ mu_0} [/ math] sin referencia a un marco de referencia dado.
¡Pero el paso crucial fue el hecho de que estaba en el vacío!
Cuando pones luz en un medio diferente (es decir, vidrio), pierdes esta condición y debes comenzar a considerar el hecho de que [math] \ rho \ neq 0 [/ math] en vidrio, ¡ya que contiene electrones y protones!
Llamamos a medios como este dispersivo , ¡porque dispersan el espectro!
De hecho, demostraré cómo los medios dispersivos surgen de las ecuaciones de Maxwell, ¡debería ser un ejercicio interesante!
Un ejemplo fácil de un medio dispersivo es un plasma.
Un plasma es un gas sobrecalentado en el que los electrones se han eliminado de sus átomos, produciendo una sopa electromagnética. ¡Esto hace un comportamiento extraño cuando intentas pasar la luz a través de él!
Si considera un plasma frío, sin colisión, sin magnetizar (es decir, no relativista y no demasiado denso), puede escribir que, bajo la influencia de un campo eléctrico, los protones son en su mayoría estacionarios (ya que son muy, muy pesados en comparación con un electrón) y que los electrones se mueven bajo la influencia del campo eléctrico.
La fuerza sobre un objeto en un campo eléctrico [math] \ textbf {E} [/ math] viene dada por:
[matemáticas] \ textbf {F} = q \ textbf {E} [/ matemáticas]
Por lo tanto, como [math] \ textbf {F} = m \ textbf {a} [/ math], podemos escribir:
[matemáticas] \ ddot {\ textbf {x}} = \ frac {-e} {m} \ textbf {E} [/ matemáticas]
Ahora buscamos una solución de la onda EM de la forma [math] \ textbf {E} = \ textbf {E} _0 e ^ {i \ omega t} [/ math]
[matemáticas] \ ddot {\ textbf {x}} = \ frac {-e} {m} \ textbf {E} _0 e ^ {i \ omega t} [/ math]
Podemos integrarnos para encontrar la velocidad de un electrón en nuestro plasma:
[matemáticas] \ dot {\ textbf {x}} = \ textbf {v} = \ frac {ie} {\ omega m} \ textbf {E} _0 e ^ {i \ omega t} [/ math]
Pero las cargas móviles significan una corriente , y la relación entre las cargas móviles está dada (por definición) por:
[matemáticas] \ textbf {J} = nq \ textbf {v} [/ matemáticas]
Donde [math] n [/ math] es la densidad de los portadores de carga.
Por lo tanto:
[matemáticas] \ textbf {J} = \ frac {-ine ^ 2} {\ omega m} \ textbf {E} [/ math]
Llamamos a este prefactor la conductividad :
[matemáticas] \ sigma = \ frac {- ine ^ 2} {\ omega m} [/ matemáticas]
Puede que te preocupe un poco las corrientes complejas y las cosas que flotan … ¡pero no te preocupes! Todo lo que hace es manifestarse como una diferencia de fase entre el campo actual y el campo eléctrico: la corriente “va a la zaga” del campo aplicado.
Si ahora vamos a nuestras ecuaciones completas de Maxwell, ahora podemos ver que la ecuación final ahora se convierte en:
[math] \ nabla \ times \ textbf {B} = \ mu_0 \ left (\ sigma \ textbf {E} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ textbf {E}} {\ partial t} \ right) [/ math ]
Esto no es tan fácil de manejar como el caso de la aspiradora, pero de todos modos, ¡aún podemos avanzar!
Si tomamos el rizo de la segunda relación [math] \ textbf {E} [/ math], y usamos el hecho de que [math] \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ textbf {A} \ right) = – \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ textbf {A} \ right) + \ nabla ^ 2 \ textbf {A} [/ math], entonces tenemos que:
[matemáticas] – \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ textbf {E} \ right) + \ nabla ^ 2 \ textbf {E} = \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ nabla \ times \ textbf {B} \ right) [/ math]
Luego podemos conectar nuestra identidad incluyendo [math] \ sigma [/ math] para obtener:
[matemáticas] – \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ textbf {E} \ right) + \ nabla ^ 2 \ textbf {E} = \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ mu_0 \ left (\ sigma \ textbf {E} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ textbf {E}} {\ partial t} \ right) \ right) [/ math]
No parece divertido de resolver, ¿verdad?
Bueno, busquemos una solución de onda plana: [matemáticas] \ textbf {E} = \ textbf {E} _0 e ^ {i \ left (\ omega t – \ textbf {k} \ cdot \ textbf {x} \ right )}[/matemáticas]
Conectamos esto a nuestra ecuación para obtener:
[matemáticas] \ textbf {k} \ left (\ textbf {k} \ cdot \ textbf {E} \ right) – k ^ 2 \ textbf {E} = – \ mu_0 \ left (\ frac {- ine ^ 2} {m \ omega} \ frac {\ partial \ textbf {E}} {\ partial t} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial ^ 2 \ textbf {E}} {\ partial t ^ 2} \ right) [/ math ]
Una vez más, usando nuestras definiciones de [math] \ textbf {E} [/ math] para hacer la diferenciación que obtenemos:
[matemáticas] \ textbf {k} \ left (\ textbf {k} \ cdot \ textbf {E} \ right) – k ^ 2 \ textbf {E} = \ frac {-1} {c ^ 2} \ left ( \ frac {ne ^ 2} {m \ epsilon_0} – \ omega ^ 2 \ right) \ textbf {E} [/ math]
Lo que da la relación general:
[matemáticas] \ boxed {\ left (- \ frac {ne ^ 2} {m \ epsilon_0} + \ omega ^ 2 – c ^ 2 k ^ 2 \ right) \ textbf {E} + c ^ 2 \ textbf {k } \ left (\ textbf {k} \ cdot \ textbf {E} \ right) = 0} [/ math]
Para ondas electromagnéticas, [matemática] \ textbf {k} \ cdot \ textbf {E} = 0 [/ matemática], entonces tenemos:
[matemática] \ left (- \ frac {ne ^ 2} {m \ epsilon_0} + \ omega ^ 2 – c ^ 2 k ^ 2 \ right) = 0 [/ math]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ boxed {\ omega ^ 2 = c ^ 2 k ^ 2 + \ frac {ne ^ 2} {m \ epsilon_0}} [/ math]
La velocidad de grupo de un paquete de ondas viene dada por:
[matemáticas] v_g = \ frac {\ partial \ omega} {\ partial k} [/ math]
Cuál para nuestra onda de plasma es:
[matemáticas] v_g = \ frac {c ^ 2 k} {\ sqrt {c ^ 2 k ^ 2 + \ frac {ne ^ 2} {m \ epsilon_0}}} [/ matemáticas]
[math] k [/ math] es el número de onda, definido como [math] k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} [/ math]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ boxed {v_g (\ lambda) = \ frac {c} {\ sqrt {1 + \ frac {n \ lambda ^ 2 \ mu_0 e ^ 2} {4 \ pi ^ 2 m}}}} [/ matemáticas]
¡Lo que tenemos aquí es una ola que tiene una velocidad diferente dependiendo de su longitud de onda [math] \ lambda [/ math]!
Todo totalmente compatible con el electromagnetismo de Maxwell, y todo totalmente compatible con la relatividad.
¡Solo debes tener cuidado con tus cargos!
