La ecuación de Dirac es la descripción relativista de un electrón. La descripción no relativista de un electrón se describe mediante la ecuación de Pauli-Schroedinger. El electrón no relativista tiene dos estados de espín y decimos que es una ecuación de dos componentes. Dirac demostró que no existe una versión relativista de la ecuación de Pauli-Schroedinger que tenga dos componentes y que el análogo relativista mínimo es una ecuación de cuatro componentes. [1] Los otros componentes adicionales (o grados de libertad) en la ecuación de Dirac son las antipartículas como estados.
La ecuación de Dirac es
[matemáticas] (\ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} c – \ beta mc ^ 2) \ psi = i \ hbar \ partial_t \ psi [/ math]
donde [math] \ vec {\ alpha} [/ math] y [math] \ beta [/ math] son matrices cuadradas de cuatro dimensiones.
Existe un procedimiento formal conocido como la transformación de Foldy-Wouthuysen para tomar sistemáticamente el límite no relativista y obtener la ecuación de Pauli-Schroedinger. La transformación Foldy-Wouthuysen permite mostrar que el momento magnético del electrón es un magneton de Bohr, el doble de la expectativa ingenua de la mitad de un magneton de Bohr. También surge el acoplamiento giro-órbita, así como el término Darwin.
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Una de las características más notables de la ecuación de Dirac surge porque es lineal en los momentos espaciales. Esto significa que el operador de velocidad
[matemáticas] \ vec {v} = \ frac {d} {dt} \ vec {x} = \ frac {i} {\ hbar} [H, x] = \ vec {\ alpha} c [/ matemáticas]
Por lo tanto, los valores posibles para la velocidad son el espectro de valores propios de [math] \ alpha c [/ math] que es [math] \ langle v \ rangle = \ pm c [/ math]. Esto significa que una partícula de Dirac siempre viaja instantáneamente a la velocidad de la luz. Parece que solo se mueve más lentamente porque fluctúa de un lado a otro en una escala de tiempo corta. Esto se conoce como zitterbewegung (“movimiento tembloroso” en alemán) y es responsable del término Darwin que puede interpretarse como una disminución de la atracción de Coulombic cuando el electrón está dentro de la longitud de onda de Compton del protón.
[1] Cabe señalar que hay ecuaciones relativistas de dos componentes llamadas ecuación de Majorana y ecuación de Weyl; sin embargo, violan las suposiciones (correctas) que Dirac tenía, a saber, que el electrón podría acoplarse al electromagnetismo (las partículas de Majorana son neutrales) y que el electrón tenía masa (las partículas de Weyl no tienen masa)
