La respuesta funcionalmente correcta a la pregunta es sencilla en términos matemáticos y bastante hermosa en términos topológicos.
En tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo, hay dos tipos de partículas en el universo: fermiones y bosones. Probemos eso, sucintamente.
La mecánica cuántica se compone de dos objetos básicos: operadores [matemática] \ matemática {O} [/ matemática] y estados [matemática] \ psi [/ matemática].
Digamos que el estado del “universo”, más precisamente, el sistema que estamos estudiando, que puede ser bastante grande, sin partículas es [math] \ psi = \ Omega [/ math].
Agreguemos una partícula. Para lograr eso, inventamos un operador de creación [math] a ^ {\ dagger} [/ math] que representa un fragmento discreto de materia.
[matemáticas] \ psi (1 partícula) = a ^ {\ daga} \ Omega [/ matemáticas]
Las características de la partícula: posición, momento, giro, carga, hipercarga, “color”, lo que sea, lo etiquetamos con un índice:
[matemáticas] i = (\ mathbf {x}, \ mathbf {p}; \ alpha, \ beta, …) [/ math]
tal que [math] a ^ {\ dagger} _i [/ math] crea una partícula con todas las características que acompañan a la etiqueta [math] i [/ math].
Ahora, agreguemos una segunda partícula a nuestro sistema. En un sistema real, podemos inyectar una partícula desde fuera del sistema, o se puede crear una partícula momentáneamente y espontáneamente desde el vacío. Matemáticamente, para rastrear y describir ese comportamiento, ¿qué hacemos?
Agregar otro operador de creación.
[matemáticas] \ psi (2 partículas) = a ^ {\ daga} _j a ^ {\ daga} _i \ Omega [/ matemáticas]
Ahora, realicemos una operación inteligente en nuestro experimento en nuestro sistema. Intercambiemos las partículas. Matemáticamente, describamos eso con un intercambio, o permutación, operador [math] P [/ math]:
[matemáticas] P a ^ {\ daga} _j a ^ {\ daga} _i \ Omega = a ^ {\ daga} _i a ^ {\ daga} _j \ Omega [/ matemáticas]
Ahora, aquí está la parte difícil conceptualmente. La acción del operador de permutación [matemática] P [/ matemática] es capturada por un número, [matemática] \ lambda [/ matemática].
¿Por qué?
Técnicamente, es porque la mecánica cuántica es una teoría en la que un operador es una matriz y un estado es un vector operado por esa matriz para generar un nuevo vector. Es decir,
[matemáticas] \ psi ‘= \ matemáticas {O} \ psi [/ matemáticas]
El vector “vive” en un espacio vectorial lineal complejo llamado espacio de Hilbert. A nivel cuántico, vivimos en un espacio gigante de Hilbert. Es por eso que la mecánica cuántica es difícil: un espacio de Hilbert no se parece en nada a nuestra experiencia cotidiana con tres dimensiones espaciales que parecen cambiar con el tiempo.
La acción de una matriz es capturada por un conjunto de números que dependen del conjunto de estados que está examinando, si un estado es un tipo especial de estado, un solo número. Simple matemáticamente; difícil conceptualmente
Por otro lado, también es la falacia del reduccionismo: adquirir intuición sobre el espacio de Hilbert no lo ayudará a comprender la vida en general. Sin embargo, le dará práctica para relacionar técnicas matemáticas con la realidad física, y eso puede ser ampliamente útil e interesante.
Funciona funcionalmente: cuando calculamos los observables utilizando ese marco de “espacio de Hilbert”, obtenemos la respuesta correcta cuando lo comparamos con los experimentos.
Pongamos precaución al viento y reemplacemos el operador de permutación [math] P [/ math] con el número [math] \ lambda [/ math]. Un hecho crítico: el número es un número real y no un número complejo. Es decir, podemos observarlo y realizar la operación en nuestros experimentos.
[matemáticas] P a ^ {\ daga} _j a ^ {\ daga} _i \ Omega = a ^ {\ daga} _i a ^ {\ daga} _j \ Omega = \ lambda a ^ {\ daga} _j a ^ { \ daga} _i \ Omega [/ matemáticas]
Si eres inteligente, podrías preguntarte, ¿no es lo mismo intercambiar la primera partícula con la segunda partícula que intercambiar la segunda partícula con la primera partícula?
[matemáticas] P a ^ {\ daga} _i a ^ {\ daga} _j \ Omega = a ^ {\ daga} _j a ^ {\ daga} _i \ Omega = \ lambda a ^ {\ daga} _i a ^ { \ daga} _j \ Omega [/ matemáticas]
Eso en realidad solo es cierto en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones: en las dimensiones inferiores, comienzas a formar nudos. Pero yo divago …
Luego, puedes realizar el siguiente truco matemático:
[matemáticas] a ^ {\ daga} _i a ^ {\ daga} _j \ Omega = \ lambda a ^ {\ daga} _j a ^ {\ daga} _i \ Omega = \ lambda ^ 2 a ^ {\ daga} _i a ^ {\ daga} _j \ Omega [/ matemáticas]
Hemos demostrado que [math] \ lambda ^ 2 = 1 [/ math]. Como el número es real, los únicos valores para [math] \ lambda [/ math] que satisfacen la ecuación son más uno y menos uno.
El hecho crucial aquí es que crear una partícula con índice define completamente el estado: todas esas partículas son completamente idénticas e indistinguibles. No puede agregar otro número al índice para distinguirlos, como lo haría con dos bolas de billar si pintara una roja y la otra azul. Podrías rastrear cuál era cuál con el color. No puedes hacer eso aquí, porque no hay nada más en la naturaleza que nuestros experimentos puedan observar para discernir cuál es cuál. El índice es la palabra final. Por lo tanto, todos [math] a ^ {\ dagger} _i [/ math] son exactamente iguales.
Es por eso que Feynman dijo que puedes tener dos electrones con la misma posición e impulso, siempre que tengan un giro diferente. Spin es parte del índice del electrón, como lo es la carga. Pero todos los electrones tienen la misma carga, mientras que el espín puede variar en el espacio de parámetros de una esfera. (Pregunta capciosa: ¿una esfera de cuántas dimensiones?)
Centrémonos en el caso menos uno. Digamos que [matemáticas] i = j [/ matemáticas]; es decir, de las dos partículas, cada partícula tiene las mismas características. Luego
[matemáticas] \ psi = a ^ {\ dagger} _i a ^ {\ dagger} _i \ Omega = – a ^ {\ dagger} _i a ^ {\ dagger} _i \ Omega = – \ psi [/ math]
La única forma de [matemáticas] \ psi = – \ psi [/ matemáticas] es si [matemáticas] \ psi = 0 [/ matemáticas]. Dado que la función de onda se interpreta en términos de probabilidad, el resultado indica que la probabilidad de encontrar dos partículas que se ajusten a [math] \ lambda = -1 [/ math] con etiquetas idénticas [math] i [/ math] es cero. Llamamos a este tipo de partículas fermiones. Los electrones son fermiones, ya que hemos observado que son este tipo de partículas. En el otro caso, más uno, no se produce ningún problema. Los bosones, que son los fotones, pueden ocupar el mismo estado. De hecho, estadísticamente tienden a favorecer la ocupación del mismo estado. Entonces decimos que los bosones son sociales y los fermiones son antisociales.
Para conocer la topología, vea la hermosa animación de las fibraciones de Hopf
Esa es la topología del grupo SU (2) de spin cuántico 1/2, que está relacionado con las estadísticas de fermiones antisociales por el teorema de spin – estadística, en sí mismo una consecuencia de la relatividad.
Puede seguir extendiendo el análisis agregando más y más partículas con más y más operadores de creación hasta que tenga todos los electrones en el universo. Eso es lo que se ha hecho anteriormente, por el bien del entretenimiento. Pero, has ignorado muchas cosas, de hecho, has ignorado todas las cosas interesantes. ¿No interactúan los electrones entre sí? Si. ¿No lo hacen intercambiando fotones? Si. ¿No interactúan también con el núcleo en los átomos? Si. ¿Cómo lidias con eso? O no lo haces, o te conviertes en un físico.
Por otro lado, también has capturado algo muy fundamental sobre el universo. En aproximadamente una página de álgebra.
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