La Ley de Gauss para el magnetismo a menudo se establece intuitivamente de la siguiente manera: no hay fuentes o sumideros para el campo magnético .
Si tiene una colección de cargas, las líneas de flujo eléctrico comienzan con cargas positivas y terminan con cargas negativas, y se acercan cada vez más a medida que se acerca a una carga. Se dice que las cargas positivas son fuentes del campo eléctrico, y las cargas negativas son sumideros . Pero no hay cargas magnéticas, por lo que las líneas de flujo magnético no tienen dónde comenzar o terminar. Deben formar bucles cerrados.
Para dar un paso hacia la formalización de esto, lo pensaremos de una manera ligeramente diferente. Si no hay fuentes o sumideros para el campo magnético, siempre que una línea de campo magnético entre en una región del espacio, también debe salir; de lo contrario, tendría que haber un lavabo adentro. Del mismo modo, siempre que una línea de campo magnético sale de una región del espacio, también debe entrar; de lo contrario, tendría que haber una fuente adentro. Entonces, la cantidad total de flujo magnético que ingresa tiene que ser igual a la cantidad total de flujo magnético que sale. Escribimos esto de la siguiente manera:
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[matemáticas] \ int \ mathbf {B} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, da = 0 [/ math]
donde tomamos la integral sobre la superficie de algún volumen, [math] da [/ math] es un elemento infinitesimal de área de superficie, y [math] \ mathbf {n} [/ math] es un vector unitario normal de la superficie , apuntando hacia afuera. En la superficie, a menos que el campo magnético sea solo cero en todas partes, habrá algunos parches por donde sale el campo magnético; Aquí el producto punto será positivo. Habrá otros parches donde el campo magnético está entrando, y el producto punto será negativo. Estas contribuciones positivas y negativas a la integral siempre se cancelarán con precisión para dar cero.
La forma de la Ley de Gauss dada anteriormente se llama forma integral . También hay una forma diferencial de la ley de Gauss, que utiliza el concepto de divergencia . La divergencia de un campo vectorial mide, en un punto dado, lo que pensaríamos intuitivamente como cuánto de una fuente o sumidero es ese punto. Entonces, en forma diferencial, la Ley de Gauss para el magnetismo dice:
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 [/ matemáticas]
donde [math] \ nabla \ cdot [/ math] denota la divergencia.
Las formas diferenciales e integrales son completamente equivalentes, por el teorema de divergencia (también conocido como el teorema de Gauss-Ostrogradsky). Pero ese es un tema para otra pregunta.
