¿Cuáles son algunas formas de justificar las ecuaciones de campo de Einstein?
Como son un postulado de la relatividad general, no es realmente posible “derivar” las ecuaciones de campo de Einstein
Rab + (Λ − 12R) gab = −8πTab [matemática] Rab + (Λ − 12R) gab = −8πTab [/ matemática]
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de cualquier manera muy significativa. Sin embargo, es posible llegar a construcciones similares a derivaciones que den una idea. ¿Cuáles son algunos de estos?
Límite newtoniano
Como punto de partida, tomemos la gravitación newtoniana. Allí, sabemos dos cosas:
−Φ, i = d2xidt [matemática] −Φ, i = d2xidt [/ matemática]
ΔΦ = 4πGρ [matemática] ΔΦ = 4πGρ [/ matemática]
Primero debemos investigar cómo corresponde Φ [matemáticas] Φ [/ matemáticas] a la métrica gμν [matemáticas] gμν [/ matemáticas]. Para eso, suponemos que la gravedad newtoniana es válida para partículas lentas v / c≪1 [matemáticas] v / c≪1 [/ matemáticas] sobre un fondo casi de Minkowski
gμν = ημν + hμν [matemáticas] gμν = ημν + hμν [/ matemáticas]
donde hμν≪1 [matemática] hμν≪1 [/ matemática] incluyendo su primera y segunda derivada. Partimos de la ecuación geodésica.
d2xμdτ2 = Γμνκdxνdτdxκdτ [matemática] d2xμdτ2 = Γνκμdxνdτdxκdτ [/ matemática]
y considerando solo términos lineales a hμν, v / c [matemática] hμν, v / c [/ matemática] (y sin términos cruzados hμνv / c [matemática] hμνv / c [/ matemática]), llegamos a la conclusión de que al orden de aproximación más bajo, la ecuación geodésica produce
d2xidt≈d2xidτ≈12h00, i [matemáticas] d2xidt≈d2xidτ≈12h00, i [/ matemáticas]
Es decir, concluimos que h00∼ − 2Φ [matemáticas] h00∼ − 2Φ [/ matemáticas].
Forma básica de ecuaciones de campo.
Ahora procedemos a la derivación de las ecuaciones de campo covariantes completas. Como punto de partida, utilizamos la ecuación de Laplace y la observación de que dice “gravedad (geometría)” = “materia (energía)”. Además, el “lado izquierdo” debería de alguna manera involucrar la segunda derivada de la métrica porque Δg00∼ΔΦ [matemática] Δg00∼ΔΦ [/ matemática], y el candidato natural para el “lado derecho” es alguna función del estrés. tensor de energía porque ρ∼T00 [matemáticas] ρ∼T00 [/ matemáticas]. (Solo Tμν [matemática] Tμν [/ matemática] y los tensores derivados incluyen densidad de energía).
Pero las derivadas covariantes de la métrica desaparecen, y las derivadas coordinadas no son covariantes. El tensor covariante fundacional basado en la geometría a partir de la cual se construye cualquier otro tensor geométrico (con la ayuda de las contracciones métricas), es el tensor de Riemann Rμνκσ [matemática] Rνκσμ [/ matemática]. La elegancia de la gravedad métrica se muestra en el hecho de que este “tensor geométrico más básico” también implica derivados de la métrica de segundo orden. Por lo tanto, concluimos que “el lado izquierdo” debe ser de alguna manera una función del tensor de Riemann.
Ahora investiguemos el rango tensorial de la ecuación deseada. Si no queremos hacer nada feo con el tensor de energía de estrés que produciría más índices como Tμν; κσ [matemáticas] Tμν; κσ [/ matemáticas], nos quedan tres posibilidades: un índice 0 (escalar ), Ecuación de 1 índice (vector / forma) o 2 índices (bilineal, 2 vectores, 2 formas). Dado que estamos interesados en construir una teoría basada solo en cantidades métricas, no tenemos tensor con un número impar de índices y, por lo tanto, no podemos formar ninguna ecuación de 1 índice.
Ecuación escalar
La ecuación del índice 0 nos lleva a la única posibilidad
R +… = λT +… (S) [matemáticas] R +… = λT +… (S) [/ matemáticas]
donde el … [matemáticas] … [/ matemáticas] significan cantidades de orden más altas, ya sea en la energía de estrés o en la curvatura.
El principal problema de esta teoría es que los grados de libertad de la geometría son demasiado limitados. La métrica tiene diez componentes, y la ecuación involucra sus primeras y segundas derivadas, siendo el todo gobernado por una sola ecuación. De esta forma, las ecuaciones no pueden resolverse a partir de ningún dato de valor límite ni de un problema de valor inicial en una hiperesuperficie similar al espacio. La única solución es restringir el tensor de Riemann por alguna otra condición.
Una de las condiciones posibles es establecer la parte sin trazas del tensor de Ricci en cero (es decir, especificar los componentes del tensor de Ricci independientemente de R [matemáticas] R [/ matemáticas]):
Sμν≡Rμν − 14Rgμν = 0 [matemática] Sμν≡Rμν − 14Rgμν = 0 [/ matemática]
Pero cuando sustituye R [matemática] R [/ matemática] en la ecuación anterior de la ecuación (S) [matemática] (S) [/ matemática], obtiene una ecuación unificada de 2 índices (con un total de 10 componentes independientes )
Rμν = λ4Tgμν [matemática] Rμν = λ4Tgμν [/ matemática]
Otra posibilidad de restringir el tensor de Riemann (20 componentes independientes) es arreglar la parte que es independiente del tensor de Ricci (10 componentes independientes), el llamado tensor de Weyl (10 componentes independientes):
Cμνκλ = 0 [matemática] Cνκλμ = 0 [/ matemática]
Esta teoría tiene cierta importancia histórica porque es equivalente a la (segunda) teoría de la gravedad de Nordström, la única gravedad escalar que cumple el principio de equivalencia débil. Los colectores en los que el tensor de Weyl desaparece son conformadamente planos, lo que, entre otras cosas, significa que los rayos de luz no se doblan. (Pero sabemos que sí, así que la gravedad de Nordström es incorrecta).
Por supuesto, hay otras formas de restringir el tensor de Riemann, pero si no queremos combinar aproximadamente 9 invariantes de curvatura aleatoria o introducir nuevas constantes naturales (para establecer algunos de los tensores iguales a una constante por la métrica, más o menos), esto se trata de lo que se puede hacer con una ecuación escalar.
Sin embargo, el principal problema con todas las posibilidades mencionadas es el hecho de que no conservan el tensor de energía de estrés y, por lo tanto, violan el principio de equivalencia de Einstein. Si tuviéramos que poner Tμν; ν = 0 [matemática] T; νμν = 0 [/ matemática] junto con la ecuación (S) [matemática] (S) [/ matemática] con λ = −8πG [matemática] λ = −8πG [/ math], obtendríamos ecuaciones de Einstein (ver más abajo).
¿Por qué necesitamos Tμν; ν = 0 [matemática] T [/ matemática] [matemática]; [/ matemática] [matemática] ν [/ matemática] [matemática] μ [/ matemática] [matemática] ν [/ matemática] [ matemática] = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática]
El punto de la gravedad de Einstein es que localmente, un observador en caída libre no tiene idea de si está cayendo o no. Esto se muestra, por ejemplo, en el hecho de que alrededor de cualquier punto, se puede encontrar un conjunto de coordenadas normales, en el que la métrica se ve como
gμν = ημν − 12Rαμβνxαxβ [matemática] gμν = ημν − 12Rαμβνxαxβ [/ matemática]
Así es como los observadores en caída libre en xμ = 0 [matemática] xμ = 0 [/ matemática] realmente ven la métrica y la geometría.
Otra propiedad de las coordenadas normales y el punto de vista de un observador en caída libre es que los símbolos de Christoffel desaparecen y, por lo tanto, la derivada covariante es solo un gradiente Aμ; ν = Aμ, ν [matemáticas] Aμ; ν = Aμ, ν [/ matemática] (en la mayoría de los cursos / construcciones de relatividad, esta es la propiedad definitoria de una derivada covariante). Esto significa que un observador en caída libre entiende Tμν; ν [matemática] T; νμν [/ matemática] como Tμν, ν [matemática] T, νμν [/ matemática].
Ahora viene el postulado de Einstein:
El resultado de cualquier experimento local no gravitacional en un laboratorio en caída libre es independiente de la velocidad del laboratorio y su ubicación en el espacio-tiempo.
Pero si Tμν, ν = f (R, Rμν, …) [matemática] T, νμν = f (R, Rμν, …) [/ matemática], entonces es posible detectar la geometría del espacio-tiempo mediante un experimento local, p. Ej. observando la no conservación de energía, momento y momento angular.
También hay un problema conceptual más profundo con la fuerte equivalencia de Einstein: la mera existencia del término “marco inercial”. Si la gravedad no se puede proteger e incluso un laboratorio que cae libremente se ve afectado por la gravedad, no hay realización física de una partícula “aislada” o “libre” . ¡Entre otras cosas, esto significaría que incluso la relatividad especial se construye en términos físicamente inexistentes y, por lo tanto, debe ser necesariamente inválida!
Simplemente dicho, el postulado de equivalencia de Einstein no es exactamente “un requisito empírico adicional”, la equivalencia de Einstein es una verificación de consistencia de todo el cuerpo de relatividad . Tμν; ν [matemáticas] T; νμν [/ matemáticas] es, por lo tanto, una necesidad.
Final
Por lo tanto, estamos buscando un conjunto de ecuaciones que sea una ecuación de 2 índices e involucre segundas derivadas de la métrica. Hay un único criterio arbitrario o de “prejuicio teórico” en la construcción presentada y está llegando ahora mismo: también requeriremos que las ecuaciones involucren solo hasta un segundo derivado de la métrica. Podemos entender la mayoría de las gravedades modificadas contemporáneas como teorías que aprovechan esta advertencia mediante el uso de ecuaciones de campo derivadas más altas.
Sin embargo, ahora llegamos a esta forma (segunda derivada) de las ecuaciones de campo
Rμν + αRgμν + βgμν = γTμν + δTgμν [matemática] Rμν + αRgμν + βgμν = γTμν + δTgμν [/ matemática]
Al hacer un seguimiento de estas ecuaciones llegamos a
(1 + 4α) R + 4β = (γ + 4δ) T [matemática] (1 + 4α) R + 4β = (γ + 4δ) T [/ matemática]
Es decir, podemos resolver para T [matemática] T [/ matemática] y deshacernos del término T [matemática] T [/ matemática] mediante sustitución en la ecuación original. Por lo tanto, podemos restringirnos a la forma
Rμν + αRgμν + βgμν = γTμν [matemática] Rμν + αRgμν + βgμν = γTμν [/ matemática]
El término βgμν [matemática] βgμν [/ matemática] es automáticamente sin divergencia, porque gμν; κ = 0 [matemática] gμν; κ = 0 [/ matemática]. Una derivación ligeramente técnica basada en las identidades de Bianchi produce
Rνμν; = 12R, μ [matemática] Rμν; ν = 12R, μ [/ matemática]
Es decir, podemos hacer que el lado izquierdo de las ecuaciones no sea divergente estableciendo α = −1 / 2 [matemática] α = −1 / 2 [/ matemática]. Esto impone la ausencia de divergencia de Tμν [matemáticas] Tμν [/ matemáticas].
La constante β [matemática] β [/ matemática], comúnmente escrita como Λ [matemática] Λ [/ matemática] es libre e indeterminada por el límite newtoniano, aparte del hecho de que Λ≪γρ [matemática] Λ≪γρ [/ matemática ] Pero dado que debería ser más pequeño que incluso las densidades relativamente pequeñas que encontramos en nuestro sistema solar, también podría ser cero, ¿verdad? Es un término realmente feo que sería muy natural poner a cero, pero la Naturaleza pensaba diferente.
La constante γ [matemática] γ [/ matemática] se puede obtener resolviendo las ecuaciones linealizadas alrededor de Minkowski
gμν = ημν + hμν [matemáticas] gμν = ημν + hμν [/ matemáticas]
El procedimiento no es tan simple; hemos deducido que h00∼ − 2Φ [matemática] h00∼ − 2Φ [/ matemática] pero es importante derivar también en la teoría linealizada que, por ejemplo, en simetría esférica tenemos hii∼ − 2Φ [matemática] hii∼ − 2Φ [/ matemática ] Esto conduce a R00∼ΔΦ [matemática] R00∼ΔΦ [/ matemática] y R∼2ΔΦ [matemática] R∼2ΔΦ [/ matemática]. Como resultado, el componente 00 [matemáticas] 00 [/ matemáticas] de las ecuaciones de Einstein lee
2Δϕ∼γT00∼γρ [matemática] 2Δϕ∼γT00∼γρ [/ matemática]
De esto podemos ver que γ [matemáticas] γ [/ matemáticas] tiene que ser 8πG [matemáticas] 8πG [/ matemáticas].
Finalmente, obtenemos las ecuaciones de Einstein con un solo parámetro libre Λ [matemáticas] Λ [/ matemáticas]
Rμν − 12Rgμν + Λgμν = 8πGTμν [matemática] Rμν − 12Rgμν + Λgμν = 8πGTμν [/ matemática]
Notas al margen : He omitido los términos de curvatura más alta ∼R2, R3, … [matemática] ∼R2, R3, … [/ matemática] en el lado izquierdo. Se puede demostrar fácilmente que estos términos no pueden generar un tensor sin divergencia (tiene que ver principalmente con el hecho de que Rμν [matemática] Rμν [/ matemática] es el “único tensor de dos índices en la tienda”, aparte de la divergencia gμν [matemática ] gμν [/ matemáticas]).
No he dado cuenta de la derivación de las ecuaciones de Einstein a partir de un principio de acción. La construcción a través de una acción (¡con el acoplamiento habitual a la materia!) Da a los lados izquierdos sin divergencia automáticamente . Además, David Lovelock demostró que en la dimensión 4, las ecuaciones de Einstein son las ecuaciones de campo únicas de segundo orden generadas por una acción. Es decir, podría derivar las ecuaciones de Einstein exigiendo que sean generadas por una acción y que sean de segundo orden en las derivadas de la métrica.
El enfoque presentado anteriormente me parece más físico y directo. Además, para justificar el requisito de un principio de acción, uno tendría que demostrar la siguiente implicación: si Tμν; ν = 0 [matemática] T; νμν = 0 [/ matemática], entonces las ecuaciones de campo pueden generarse mediante una acción principio. (No estoy seguro de si esa implicación está o no probada). De lo contrario, podría haber un conjunto de ecuaciones de campo al acecho no generadas por acciones que satisfagan todos nuestros criterios físicos.
